Sentença atômica

Na lógica, uma sentença atômica é um tipo de sentença declarativa que pode ser verdadeira ou falsa (pode também ser referido como uma proposição, declaração ou portador da verdade) e que não pode ser dividida em outras sentenças mais simples. Por exemplo, "O cachorro correu" é uma sentença atômica em linguagem natural, enquanto que "O cachorro correu e o gato se escondeu" é uma sentença molecular em linguagem natural.

A partir de uma análise lógica, a verdade ou falsidade de sentenças, em geral, é determinada por apenas duas coisas: a forma lógica da sentença e da verdade ou falsidade das suas sentenças simples. Isso quer dizer, por exemplo, que a verdade da sentença "João é grego e João é feliz" é uma função do significado de "e", e dos valores verdade das sentenças atômicas "João é grego" e "João é feliz ". No entanto, a verdade ou falsidade de uma sentença atômica não é uma questão que está dentro do escopo da lógica em si, mas sim, sobre que arte ou ciência o conteúdo da sentença atômica está falando.^[1]

A lógica tem desenvolvido linguagens artificiais. Por exemplo, cálculo sentencial e cálculo de predicados partem da finalidade de revelar a lógica subjacente dos enunciados das linguagens naturais. A gramática superficial dessas declarações pode ocultar a estrutura lógica subjacente; veja Filosofía Analítica. Nessas línguas artificiais uma sentença atômica é uma sequência de símbolos que podem representar uma sentença elementar em uma linguagem natural, e pode ser definida da maneiras apresentadas abaixo.

Em uma linguagem formal, uma fórmula bem formada (ou fbf) é uma sequência de símbolos constituída em conformidade com as regras da sintaxe da linguagem. Um termo é uma variável, uma constante individual ou uma função n-ária seguida por n termos. Uma fórmula atômica é uma fbf composta por uma letra sentencial ou uma letra de predicado n-ária seguida por n termos. Uma sentença é uma fbf na qual as variáveis estão vinculadas. Uma sentença atômica é uma fórmula atômica que não contém variáveis. Como resultado, uma sentença atômica não contém conectivos lógicos, variáveis ou quantificadores. Uma sentença constituída por uma ou mais sentenças e um conectivo lógico torna-se uma composta (ou sentença molecular).

Exemplos

Como exemplo, considere F, G, H, letras que representam predicados; a, b, c, constantes individuais; x, y, z, variáveis; e sendo p uma letra sentencial. A partir daí, as seguintes fbfs são sentenças atômicas:

p
F(a)
H(b,a,c)

As seguintes fbfs são fórmulas atômicas, mas não sentenças atômicas, pois elas incluem variáveis livres:

F(x)
G(a,z)
H(x,y,z)

As seguintes fbs não são fórmulas atômicas mas são formadas a partir de fórmulas atômicas usando conectivos lógicos. Elas não são sentenças pois contém variáveis livres. (São fórmulas compostas):

F(x)&G(a,z)
G(a,z)∨H(x,y,z)

As seguintes fbfs são sentenças mas não são atômicas (pois não são fórmulas atômicas). (São sentenças compostas):

∀x(F(x))
∃z(G(a,z))
∃x∀y∃z(H(x,y,x))
∀x∃z(F(x)&G(a,z))
∃x∀y∃z (G(a,z)∨H(x,y,z))

Interpretações

Uma sentença pode ser verdadeira ou falsa sob uma interpretação que atribui valores para as variáveis lógicas. Podemos por exemplo, fazer as seguintes atribuições:

Constantes Individuais

a: Sócrates
b: Platão
c: Aristóteles

Predicados:

Fα: α está dormindo
Gαβ: α odeia β
Hαβγ: α fez β bater em γ

Variáveis sentenciais:

p: Está chovendo.

Sob essa interpretação as sentenças discutidas acima representariam as seguintes declarações em português:

p: "Está chovendo."
F(a): "Sócrates está dormindo."
H(b, a, c): "Platão fez Sócrates bater em Aristóteles."
∀x (F(x)): "Todos estão dormindo."
∃z (G(a, z)): "Sócrates odeia alguém."
∃x ∀y ∃z (H(x, y, z)): "Alguém fez todos baterem em alguém." (Eles podem não ter todos bater a mesma pessoa z, mas todos fizeram isso porque da mesma pessoa x.)
∀x ∃z (F(x) ∧ G(a, z)): "Todos estão dormindo e Sócrates odeia alguém."
∃x ∀y ∃z (G(a, z) ∨ H(x, y, z)): "Ou Sócrates odeia alguém ou alguém fez todos baterem em alguém."

Traduzindo frases de uma linguagem natural para uma linguagem artificial

Sentenças em linguagens naturais podem ser ambíguas, enquanto as linguagens da lógica sentencial e da lógica de predicados são precisas. A tradução pode revelar tais ambiguidades e expressar com precisão o significado pretendido.

Por exemplo, observe a sentença "O padre Ted casou Jack e Jill". Isso significa que Jack casou-se com Jill? Na tradução devemos fazer as seguintes atribuições:
Constantes individuais:

a: Padre Ted
b: Jack
c: Jill

Predicados

Mαβγ: α oficiou o casamento de β e γ.

Usando essas atribuições a sentença acima pode ser traduzida da seguinte maneira:

M(a,b,c): Padre Ted oficiou o casamento de Jack e Jill.
∃x∃y((M(a,b,x)& (M(a,c,y)): ): PadreTed oficiou o casamento Jack com alguém e Padre Ted oficiou o casamento de Jill com alguém.
∃x∃y(M(x,a,b)&M(y,a,c)): Alguém oficiou o casamento de Padre Ted com Jack e alguém oficiou o casamento de Padre Ted com Jill.

Para estabelecer qual é a tradução correta de "Padre Ted casou Jack com Jill", seria necessário perguntar ao orador exatamente qual o sentido da sentença.

Significado Filosófico

Sentenças atômicas são de particular interesse na lógica filosófica e na teoria da verdade e, tem-se discutido que existem correspondentes fatos atômicos. Uma sentença atômica (ou, possivelmente, o significado de uma sentença atômica) é chamada de proposição elementar por Wittgenstein e de proposição atômica por Russell:

4.2 O sentido de uma proposição é sua concordância e discordância com a possibilidade de existência e não existência de estados de coisas. 4.21 O tipo mais simples de proposição (uma proposição elementar) afirma a existência de um estado de coisas.: Wittgenstein, Tractatus Logico-Philosophicus, s:Tractatus Logico-Philosophicus.
Uma proposição (verdadeira ou falsa) afirmando um fato atômico, é chamada de proposição atômica.: Russell, Introduction to Tractatus Logico-Philosophicus, s:Tractatus Logico-Philosophicus/Introduction
Veja também ^[2] e ^[3] especialmente em relação a proposição elementar e proposição atômica como discutido por Russell e Wittgenstein.

Observe a distinção entre uma proposição elementar/ atômica e um fato atômico.

Nenhuma sentença atômica pode ser deduzida a partir de qualquer outra sentença atômica, não existem duas sentenças atômicas incompatíveis, e não existem conjuntos de sentenças atômicas que sejam autocontraditórios. Wittgenstein falou muito disso em seu Tractatus Logico-Philosophicus. Se houver quaisquer sentenças atômicas, então deve haver "fatos atômicos", que correspondem às sentenças que são verdadeiras e, a conjunção de todas as sentenças atômicas verdadeiras diria tudo o que foi a hipótese, ou seja, "o mundo" , já que, de acordo com Wittegenstein "o mundo é tudo o que é a hipótese". (TLP: 1). Da mesma forma o conjunto de todos os conjuntos de sentenças atômicas corresponde ao conjunto de todos os mundos possíveis (tudo o que poderia ser a hipótese).

O T-schema, que incorpora a teoria da verdade proposta por Alfred Tarski, define a verdade de sentenças arbitrárias a partir da verdade das sentenças atômicas.

Veja também

Referências

↑ Philosophy of Logic, Willard Van Orman Quine
↑ http://plato.stanford.edu/entries/logical-atomism/
↑ http://plato.stanford.edu/entries/wittgenstein-atomism/

Bibliografia

Benson Mates, Elementary Logic, OUP, New York 1972 (Library of Congress Catalog Card no.74-166004)
Elliot Mendelson, Introduction to Mathematical Logic,, Van Nostran Reinholds Company, New York 1964
Wittgenstein, Tractatus_Logico-Philosophicus: s:Tractatus Logico-Philosophicus.

[1] Philosophy of Logic, Willard Van Orman Quine

[2] ttp://plato.stanford.edu/entries/logical-atomism/

[3] ttp://plato.stanford.edu/entries/wittgenstein-atomism/

[1]

[2]

[3]