Superfícies de Bézier

Superfícies de Bézier são uma espécie de Splines matemáticas usadas em computação gráfica, sistemas CAD, e modelagem por elementos finitos. Tal como acontece com as curvas de Bézier, as superfícies de Bézier são definidas por um conjunto de pontos de controle. Semelhante com a interpolação em muitos aspectos, uma das diferenças fundamentais é que uma superfície de Bézier em geral não passa pelos pontos de controle centrais, mas é "esticada" na direção de cada um deles como se houvesse uma força atrativa. O que é visualmente intuitivo, e conveniente para muitas aplicações matemáticas.

Exemplo de Superfície de Bézier.

A Superfície de Bézier é de continuidade G2.

História

Ela foi desenvolvida em 1962 e seu nome é devido a quem publicou o primeiro trabalho sobre a curva, o francês Pierre Bézier, funcionário da Renault, que a usou para o design de automóveis. Ela foi desenvolvida a partir do Algoritmo de De Casteljau, em 1957, (Paul de Casteljau, Citroën) e formalizada na década de 60. As superfícies de Bézier podem ser de qualquer grau, porém as bicubicas proporcionam grau de liberdade suficiente para grande variedade de aplicações.

Equação

Uma dada superfície de ordem (n, m) é definida por um conjunto de (n + 1)(m + 1) pontos de controle k_i,j. Ela mapeia a unidade quadrada em uma superfície lisa contínua, embutidas dentro de um espaço de mesma dimensão como { k_i,j }. Por exemplo, se os k são pontos em um espaço de quatro dimensões, então a superfície estará dentro de um espaço de quatro dimensões. A superfície de Bézier de duas dimensões pode ser definida por uma superfície paramétrica onde as posições dos pontos p, como uma função das coordenadas paramétricas u, v, são dadas por:

Curvas de Bézier.

$\mathbf {p} (u,v)=\sum _{i=0}^{n}\sum _{j=0}^{m}B_{i}^{n}(u)\;B_{j}^{m}(v)\;\mathbf {k} _{i,j}$

avaliados ao longo da unidade quadrada, onde

$B_{i}^{n}(u)={n \choose i}\;u^{i}(1-u)^{n-i}$

é o polinômio de Bernstein, e

${n \choose i}={\frac {n!}{i!(n-i)!}}$

é o coeficiente binomial.

Bibliografia

• Gerald Farin. Curves and Surfaces for CAGD, 5th ed. published by Academic Press. ISBN 1558607374.
• Bartels, R. H.; Beatty, J. C.; and Barsky, B. A. "Bézier Curves." Ch. 10 in An Introduction to Splines for Use in Computer Graphics and Geometric Modelling. San Francisco, CA: Morgan Kaufmann, pp. 211–245, 1998.
• Piegl, L. Fundamental Developments of Computer Aided Geometric Design. San Diego, CA: Academic Press, 1993.

Ver também

• Superfície classe A

Ligações externas

• Cubic Bézier, página visitada em 4 de fevereiro de 2014.
• http://astronomy.swin.edu.au/~pbourke/surfaces/bezier/
• http://home.scarlet.be/piet.verplancken3/bezier/node15.html
• Patchy An open source bicubic patch library, for the Processing programming language.