Teorema da representação de Riesz

 Nota: Não confundir com Teorema da representação de Riesz–Markov–Kakutani.

Em matemática, existem diversos teoremas que recebem o nome de teorema da representação de Riesz.

O mais conhecido destes teoremas é o Teorema de Riesz–Fréchet que se refere à representação de funcionais lineares contínuos em espaços de Hilbert.

Teorema da representação de Riesz–Fréchet

Seja $H\,$ um espaço de Hilbert, munido de produto interno, e $\phi :H\to K$ um funcional linear contínuo. Então existe um único $y_{0}\in H$ tal que:

$\phi (x)=\langle x,y_{0}\rangle ,\ \forall x\in H\,$

E além disso:

$||\phi ||=||y_{0}||$

Portanto o teorema estabelece uma identificação entre um espaço de Hilbert e seu espaço dual.

Motivação

Se $H$ é um espaço de Hilbert munido de produto interno e $y\in H$ então existe o funcional:

$\phi _{y}:H\to K\ ,\ \phi _{y}(x)=\langle x,y\rangle$

Note que:

• Esse funcional é linear pois o produto interno mantêm linearidade.
• Contínuo pois: fixando $\epsilon >0$ se $||w||-||z||\leq {\frac {\epsilon }{||y||}}$ então:$\phi _{y}(w)-\phi _{y}(z)=\langle y,w\rangle -\langle y,z\rangle \leq ||y||.||w||-||y||.||z||=||y||\ (\ ||w||-||y||\ )\leq ||y||.{\frac {\epsilon }{||y||}}=\epsilon$.
• $||\phi _{y}||=||y||$ pois $||\phi _{y}({\frac {y}{||y||}})||={\frac {||\phi _{y}(y)||}{||y||}}={\frac {\langle y,y\rangle }{||y||}}={\frac {||y||^{2}}{||y||}}=||y||$.

Ou seja, $\phi _{y}\in H'$ e $||\phi _{y}||=||y||$.

Seria interessante que todos os funcionais lineares contínuos fossem da forma descrita acima para algum $y\in H$.

Demonstração

Se $\phi$ é um funcional tal que $\phi (x)=0$ sempre, então basta tomar $y_{0}=0$ que então $\phi (x)=0=\langle 0,x\rangle \ \forall x\in H$.

Se $\phi$ não é identicamente nulo, então o núcleo de $\phi$ que é o conjunto $N=\{x\in H:\ \phi (x)=0\}$ é um subespaço próprio e fechado de $H$.

Portanto $N^{\perp }\neq \{0\}$ . Seja $x_{0}\in N^{\perp }$ tal que $||x|=1$.

Vamos provar que $y_{0}=\phi (x_{0}).x_{0}$ satisfaz a condição do teorema.

Dado $x\in H$ note que como podemos decompor $H$ como soma direta de $N$ com $N^{\perp }$ então $x=(x-{\frac {\phi (x)}{\phi (x_{0})}}x_{0})+{\frac {\phi (x)}{\phi (x_{0})}}x_{0}$ onde: $x-{\frac {\phi (x)}{\phi (x_{0})}}x_{0}\in N$ e ${\frac {\phi (x)}{\phi (x_{0})}}x_{0}\in N^{\perp }$ .

Logo :

$\langle x,y_{0}\rangle =\langle x-{\frac {\phi (x)}{\phi (x_{0})}}x_{0},\ y_{0}\rangle +\langle {\frac {\phi (x)}{\phi (x_{0})}}x_{0},\ y_{0}\rangle$

Como $y_{0}\in N^{\perp }$ e $x-{\frac {\phi (x)}{\phi (x_{0})}}x_{0}\in N$ então:

$\langle x,y_{0}\rangle =0+{\frac {\phi (x)}{\phi (x_{0})}}\langle x_{0},y_{0}\rangle ={\frac {\phi (x)}{\phi (x_{0})}}\langle x_{0},\phi (x_{0}).x_{0}\rangle =\phi (x)\langle x_{0},x_{0}\rangle =\phi (x).||x_{0}||$

Como $||x_{0}||=1$ então temos que:

$\langle x,y_{0}\rangle =\phi (x).$

Consequências

• Todo espaço de Hilbert é isomorfo ao seu dual.
• O dual de um espaço de Hilbert também é de Hilbert

Bibliografia

• Geraldo Botelho, Daniel Pellegrino e Eduardo Teixeira (2011), Fundamentos de Análise Funcional