Teorema de Burlet

O teorema de Burlet é um resultado na geometria euclidiana, que pode ser formulado da seguinte maneira:

O Teorema de Burlet nos dá a área em função dos segmentos em que o círculo interno divide um lado e meio do ângulo oposto.

Uma prova formal do teorema é assim demonstrada:

$S=cotg({\frac {a}{2}})\times m\times n$

$S_{abc}=m\times n\times cotg({\frac {a}{2}})$

Seja $DI=DJ=r$ sabemos que $DiC={\pi \over 2}$ e que $IbD={a \over 2}$ pois $D$ é incentro.

Note que $BI=BJ$ usando um pouco de trigonometria temos:

${\frac {r}{BI}}=tg({\frac {a}{2}})$

$BI=BJ=r\times cotg({\frac {a}{2}})$

Note também que o perímetro desse triangulo é $2p=2BI+2AE+2JC$ tal que

$p=BI+AE+JC$

$p=m+n+r\times cotg({\frac {a}{2}})$

Pelo teorema da circunferência inscrita temos:

$r\times cotg({\frac {a}{2}})=p-AC$

$m=p-BC$

$n=p-AB$

Sabemos que $S=pr$ e que $S={\sqrt {p(p-AB)(p-BC)(p-AC)}}$

Substituindo os valores na primeira segunda equação:

$S={\sqrt {p(p-AB)(p-BC)(p-AC)}}$

$S={\sqrt {p(r\times cotg({\frac {a}{2}})\times m\times n}})$

Elevando ao quadrado

$S^{2}=pr\times cotg({\frac {a}{2}})\times m\times n$ repare que $S=pr$

$S^{2}=S\times cotg({\frac {a}{2}})\times m\times n$

assim, $S=cotg({\frac {a}{2}})*m*n$

CASO ESPECIAL se $a={\pi \over 2}$, $S=mn$