Teorema de Donsker

Em teoria da probabilidade, o teorema de Donsker (também conhecido como princípio da invariância de Donsker, ou teorema central do limite funcional), em homenagem ao matemático Monroe D. Donsker, é uma extensão funcional do teorema central do limite.

Definição formal

Seja $X_{1},X_{2},X_{3},\ldots$ uma sequência de variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas (i.i.d.) com média 0 e variância 1. Seja $S_{n}:=\sum _{i=1}^{n}X_{i}$. O processo estocástico $S:=(S_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ é conhecido como um passeio aleatório. Definindo o passeio aleatório escalado por

$W^{(n)}(t):={\frac {S_{\lfloor nt\rfloor }}{\sqrt {n}}},\qquad t\in [0,1].$

O teorema central do limite afirma que $W^{(n)}(1)$ converge em distribuição para uma variável aleatória gaussiana padrão $W(1)$ conforme $n\to \infty$. O princípio da invariância de Donsker extende essa convergência para toda a função $W^{(n)}:=(W^{(n)}(t))_{t\in [0,1]}$. Mais precisamente, em sua forma moderna, o princípio da invariância de Donsker afirma que: com variáveis aleatórias tomando valores no espaço de Skorokhod ${\mathcal {D}}[0,1]$, a função aleatória $W^{(n)}$ converge em distribuição para um movimento browniano padrão $W:=(W(t))_{t\in [0,1]}$ conforme $n\to \infty .$

Seja $F_{n}$ a função distribuição empírica da sequência das variáveis aleatórias i.i.d. $X_{1},X_{2},X_{3},\ldots$ com função de distribuição $F$. Definindo a versão centrada e reduzida de $F_{n}$ por

$G_{n}(x)={\sqrt {n}}(F_{n}(x)-F(x))\,$

indexadas por $x\in \mathbb {R}$. Pelo teorema central do limite clássico, para $x$ fixo, a variável aleatória $G_{n}(x)$ converge em distribuição para uma variável aleatória gaussiana normal $G(x)$, com média zero e variância de $F(x)(1-(F(x))$ conforme o tamanho da amostra $n$ cresce.

Teorema (Donsker, Skorokhod, Kolmogorov) — A sequência de G_n(x), como elementos aleatórios do espaço de Skorokhod ${\mathcal {D}}(-\infty ,\infty )$, converge em distribuição para um processo gaussiano G com média zero e covariância dada por

$\operatorname {cov} [G(s),G(t)]=E[G(s)G(t)]=\min\{F(s),F(t)\}-F(s)F(t).\,$

O processo $G(x)$ pode ser escrito como $B(F(x))$, onde $B$ é uma ponte browniana padrão no intervalo unitário.

História

Em 1933, Kolmogorov mostrou que, quando $F$ é contínuo, o supremo ${\textstyle \sup _{t}G_{n}(t)}$ e o supremo de valor absoluto, ${\textstyle \sup _{t}|G_{n}(t)|}$ converge em distribuição para as leis dos mesmos funcionais da ponte browniana $B(t)$. Doob, em 1949, perguntou se a convergência em distribuição se mantinha para funcionais mais gerais, assim formulando um problema de convergência fraca de funções aleatórias em um espaço de função adequado.

Em 1952, Donsker afirmou e provou, apesar de com falhas, uma extensão geral para a abordagem heurística de Doob-Kolmogorov. No artigo original, Donsker provou que a convergência na lei de $G_{n}$ para a ponte browniana se mantém para distribuições uniformes $[0,1]$ com relação à convergência uniforme em $t$ sobre o intervalo $[0,1]$.

No entanto, a formulação de Donsker não estava totalmente correta, por conta do problema da mensurabilidade dos funcionais de processos descontínuos. Em 1956, Skorokhod e Kolmogorov definiram uma métrica separável $d$, chamada métrica de Skorokhod, no espaço de funções càdlàg em $[0,1]$, tal que a convergência para $d$ para uma função contínua é equivalente a convergência para o supremo da norma, e mostrou que $G_{n}$ converge na lei em ${\mathcal {D}}[0,1]$ para a ponte browniana.

Mais tarde, Dudley reformulou o resultado de Donsker para evitar o problema de mensurabilidade e a necessidade da métrica de Skorokhod. Pode-se provar que existe $X_{i}$, i.i.d. uniforme em $[0,1]$ e uma seqüência de pontes brownianas $B_{n}$ de amostragem contínua, tais que

$\|G_{n}-B_{n}\|_{\infty }$

é mensurável e converge em probabilidade para 0. Uma versão melhorada deste resultado, que fornece mais detalhes sobre a taxa de convergência, é a aproximação de Komlós–Major–Tusnády.

Veja também

• Processo estocástico
• Teorema central do limite
• Teste Kolmogorov-Smirnov