Teorema de Erdős–Kac

Teorema de Erdős–Kac em teoria dos números, assim nomeado por ter sido provado pelos matemáticos Paul Erdős e Mark Kac,^[1] também conhecido como o teorema fundamental da teoria probabilística dos números, diz que se ω(n) é o número de fatores primos distintos de n, então, dizendo livremente, a distribuição de probabilidade de

{\frac {\omega (n)-\log \log n}{\sqrt {\log \log n}}}

é a distribuição normal padrão. Esta é um extensão mais aprofundada das ideias do Teorema de Hardy–Ramanujan, que diz que a ordem da função aritmética ω(n) é log log n com um típico erro de tamanho ${\sqrt {\log \log n}}$ .^[2]

Mais precisamente, para algum número a < b,

\lim _{x\rightarrow \infty }\left({\frac {1}{x}}\cdot \#\left\{n\leq x:a\leq {\frac {\omega (n)-\log \log n}{\sqrt {\log \log n}}}\leq b\right\}\right)=\Phi (a,b)

onde $\Phi (a,b)$ é a distribuição normal (ou "Gaussiana"), definida como

\Phi (a,b)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{a}^{b}e^{-t^{2}/2}\,dt.

Enunciando de modo heurístico, Erdős e Kac provaram que se n é um inteiro suficientemente grande escolhido aleatoriamente, então o número de fatores primos distintos de n tem aproximadamente a distribuição normal com média e variancia log log n.

Isto significa que a construção de um número em torno de um bilhão requer em média uma base de três fatores primos.^[3]

Por exemplo 1,000,000,003 = 23 × 307 × 141623.

n	Número de dígitos de n	Número médio de primos distintos	desvio padrão
1,000	4	2	1.4
1,000,000,000	10	3	1.7
1,000,000,000,000,000,000,000,000	25	4	2
10⁶⁵	66	5	2.2
10^9,566	9,567	10	3.2
10^210,704,568	210,704,569	20	4.5
10^10²²	10²²+1	50	7.1
10^10⁴⁴	10⁴⁴+1	100	10
10^10⁴³⁴	10⁴³⁴+1	1000	31.6

Ficheiro:EKT plot.svg

Uma distribuição gaussiana de fatores primos distintos ilustrando o Teorema de Erdos-Kac

Em torno de 12.6% dos números de 10000 dígitos são construídos numa base de 10 fatores primos distintos e em torno de 68% (±σ) são construídos numa base entre 7 e 13 fatores primos distintos.

Se uma esfera oca com o tamanho do planeta Terra fosse preenchida com areia fina, teria por volta de 10³³ grãos. Um volume do tamanho do Universo observável teria em torno de 10⁹³ grãos de areia. Não pode haver espaço para 10¹⁸⁵ cordas quânticas em tal universo.

Números desta magnitude — com 186 dígitos — requerem em média 6 fatores primos para construção.

Ver também

Referências

↑ Erdős, Paul; Kac, Mark (1940). «The Gaussian Law of errors in the Theory of Additive Number Theoretic Function». American Journal of Mathematics. 62 (1/4): 738–742. ISSN 0002-9327. Zbl 0024.10203
↑ Kuo, Wentang; Liu, Yu-Ru (2008). «The Erdős–Kac theorem and its generalizations». In: De Koninck, Jean-Marie; Granville, Andrew; Luca, Florian. Anatomy of integers. Based on the CRM workshop, Montreal, Canada, March 13--17, 2006. Col: CRM Proceedings and Lecture Notes. 46. Providence, RI: American Mathematical Society. pp. 209–216. ISBN 978-0-8218-4406-9. Zbl 1187.11024
↑ Kac, Mark (1959). Statistical Independence in Probability, Analysis and Number Theory. [S.l.]: John Wiley and Sons, Inc.

Ligações externas

Weisstein, Eric W. «Erdős–Kac Teorema». MathWorld (em inglês)

[1] Erdős, Paul; Kac, Mark (1940). «The Gaussian Law of errors in the Theory of Additive Number Theoretic Function». American Journal of Mathematics. 62 (1/4): 738–742. ISSN 0002-9327. Zbl 0024.10203

[2] Kuo, Wentang; Liu, Yu-Ru (2008). «The Erdős–Kac theorem and its generalizations». In: De Koninck, Jean-Marie; Granville, Andrew; Luca, Florian. Anatomy of integers. Based on the CRM workshop, Montreal, Canada, March 13--17, 2006. Col: CRM Proceedings and Lecture Notes. 46. Providence, RI: American Mathematical Society. pp. 209–216. ISBN 978-0-8218-4406-9. Zbl 1187.11024

[3] Kac, Mark (1959). Statistical Independence in Probability, Analysis and Number Theory. [S.l.]: John Wiley and Sons, Inc.

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