Teorema de Girsanov
Na teoria da probabilidade, o teorema de Girsanov (em nome de Igor Vladimirovich Girsanov) descreve como a dinâmica de processos estocásticos muda quando o a medida original é alterada para uma medida da probabilidade equivalente.[1]:607 O teorema é especialmente importante na teoria da matemática financeira, na medida em que converte a probabilidade de uma medida física que descreve a probabilidade de que um ativo subjacente (como um preço ou uma taxa de juros) ter um determinado valor ou valores em uma medida de risco-neutro, uma uma ferramenta muito útil para o cálculo de preços derivados do subjacente.
História
editarResultados deste tipo foram pela primeira vez demonstrados por Cameron–Martin na década de 1940 e por Girsanov, em 1960.[2] Eles foram, posteriormente, estendido para classes mais gerais de processo que culminaram na forma geral de Lenglart (1977).
Significado
editarO teorema de Girsanov é importante na teoria geral de processos estocásticos, pois permite que o resultado-chave de que se Q é uma medida absolutamente contínua com respeito a P , então, todo P-semimartingale é um Q-semimartingale.[3]
Demonstração do teorema
editarApresentamos o teorema primeiro para o caso especial quando o processo estocástico subjacente é um processo de Wiener. Este caso especial é suficiente para preços de risco-neutro no modelo de Black-Scholes e em muitos outros modelos (por exemplo, modelos contínuos).
Deixe ser um processo de Wiener espaço de probabilidade Wiener . Deixe ser um processo adaptado mensurável para a filtragem natural do processo de Wiener com .
Defina o exponencial Doléans de X com respeito a W
Se é um martingale estritamente positivo, uma medida de probabilidade Q pode ser definida em de tal forma a termos um derivativo de de Radon–Nikodym
Em seguida, para cada t a medida Q restrita para os campos sigma não aumentados é equivalente a P restrito a . Além disso, se Y é um local de martingale em P, então o processo
é um Q local de martingale no espaço de probabilidade filtrado .
Ver também
editarReferências
editar- ↑ Musiela, M.; Rutkowski, M. (2004). Martingale Methods in Financial Modelling (2nd ed.). New York: Springer. ISBN 3-540-20966-2.
- ↑ Girsanov, I. (1 de janeiro de 1960). «On Transforming a Certain Class of Stochastic Processes by Absolutely Continuous Substitution of Measures». Theory of Probability & Its Applications. 5 (3): 285–301. ISSN 0040-585X. doi:10.1137/1105027
- ↑ Lenglart, E. «Transformation des martingales locales par changement absolument continu de probabilities». Zeitschrift für Wahrscheinlichkeitstheorie und Verwandte Gebiete (em francês). 39 (1): 65–70. ISSN 0044-3719. doi:10.1007/BF01844873
Ligações externas
editar- Notas sobre Estocásticos Cálculo que contém um esquema simples prova do teorema de Girsanov.
- Aplicada Multidimensional Teorema de Girsanov que contém financeiras aplicações do teorema de Girsanov.