Em trigonometria, a lei dos senos é uma relação matemática de proporção sobre a medida de triângulos arbitrários em um plano. Em um triângulo qualquer, inscrito em uma circunferência de raio , de lados , e , que medem respectivamente , e , com ângulos internos , e vale a seguinte relação:
Para demonstrar a lei dos senos, tomamos um triângulo ABC qualquer inscrito em uma circunferência de raio r. A partir do ponto B pode-se encontrar um ponto diametralmente oposto D, e, ligando D a C, formamos um novo triângulo BCD retângulo em C.
Da figura, pelo teorema do ângulo inscrito podemos chegar à conclusão que , porque determinam na circunferência uma mesma corda . Desta forma, podemos relacionar:
Fazendo todo este mesmo processo para os ângulos e teremos as relações:
e
em que b é a medida do lado AC, oposto a , c é a medida do lado AB, oposto a , e 2r é uma constante.
Logo, podemos concluir que:
Outro modo de demonstrar é usando geometria analítica com vetores:
Definimos um triângulo formado pela soma e o resultante e os ângulos , e correspondendo respectivamente aos vetores e , e , e . Sabendo que o dobro da área, representada por , do triângulo formado entre os vetores e é calculada com o módulo do produto vetorial entre eles e que:
Sendo o ângulo entre os vetores e , dessa forma temos o seguinte desenvolvimento:
Que pode ser representado como a lei dos senos que conhecemos:
A lei dos senos na trigonometria plana é o caso limite desta lei; o triângulo plano é o limite de um triângulo esférico quando os lados tendem a zero, e, no limite, .
Ver artigo principal: Trigonometria esférica
