Teste de Abel

Em matemática, o teste de Abel (Veja Niels Henrik Abel) demonstra a convergência de séries numéricas que podem ser escritas na forma:

$\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}b_{n}$

onde as duas propriedades são verificadas:

• $\sum _{n=1}^{N}a_{n}\,$ converge
• {b_n} é monótona e $\lim _{n\to \infty }b_{n}=b_{\infty }\neq \pm \infty \,$

Para a demonstração,pode-se usar o Critério de Dirichlet. Como a sequência $(b_{n})$ é limitada inferiormente por zero, ela converge, sendo então c seu limite.

$\lim _{n\to \infty }b_{n}=c$ e $\lim _{n\to \infty }b_{n}-c=0$ onde $b_{n}-c$ também uma sequênca decrescente com limite 0 e assim aplica-se o Critério de Dirichlet.

Então: $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}(b_{n}-c)=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}b_{n}-c\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$

Somando $c.\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ em ambos os lados:

$\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}(b_{n}-c)+c\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}b_{n}$

onde $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}(b_{n}-c)$ converge, pelo Critério de Dirichlet e $c.\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ converge, pela hipótese,

Logo, $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}b_{n}$ também converge.

Exemplos

1) A série $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1+1/n)^{n}}{n}}\,$ é convergente. Neste caso, defina:

$a_{n}={\frac {(-1)^{n}}{n}}$

e

$b_{n}=\left(1-1/n\right)^{n}$

A série $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n}}\,$ é convergente pelo teste da série alternada e a sequência $b_{n}\,$ é monótona, decrescente e converge para $e^{-1}\,$.

2) A série $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1-1/n)^{n}}{n}}\,$ é também convergente; é tal como em 1), sendo que $b_{n}=\left(1+1/n\right)^{n}$ é crescente, convergindo para $e\,$.

- Note-se que a natureza de 2) não pode ser justificada pelo teste da série alternada, ao contrário da série do exemplo 1);

de facto, ${\frac {(-1+1/n)^{n}}{n}}\,=(-1)^{n}\times {\frac {\left(1-1/n\right)^{n}}{n}}$ e, atendendo a que $\left(1-1/n\right)^{n}$ é monótona decrescente, podemos concluir que $b_{n}={\frac {\left(1-1/n\right)^{n}}{n}}$ também é decrescente, sendo de termos positivos e convergindo para zero.