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FUNÇÃO EXPONENCIAL (matemática)

HISTÓRIA DA FUNÇÃO EXPONENCIAL

Principalmente entre a antiguidade e a idade média, a matemática teve sua evolução mesclada à evolução

de outras ciências. Em verdade, também nos séculos XVI e XVII, já na idade moderna, houve uma grande expansão do conhecimento científico e tecnológico de diversas áreas como geografia, cartografia, astronomia e física, que muito contribuiu para que conceitos e teorias matemáticas surgissem e fossem então estabelecidos.

Um desses conceitos, e aqui em evidência, foi o conceito de função, e em especial o de função exponencial. É valido reforçar que para este conceito chegar à definição que hoje é utilizada e difundida, passou por inúmeros processos de testagens, formulações e reformulações estabelecidos por diversos e importantes nomes da matemática. Foi no estudo da relação entre quantidades variáveis, ainda no século XVII, que o conceito de função teve sua origem e que apesar disso gradativamente saiu desse âmbito do cálculo para habitar o âmbito da Teoria dos Conjuntos, já no século XX.

Atualmente, entende-se por função toda relação de dependência, em que uma incógnita depende do valor da outra. A função denominada como exponencial possui essa relação de dependência e sua principal característica é que a parte variável representada por x se encontra no expoente: f(x) = a^x , daí sua denominação exponencial, sendo importante também ressaltar que a base a é um valor real constante, isto é, um número real.

DEFINIÇÃO

FUNÇÃO EXPONENCIAL

A função exponencial ocorre quando, em sua lei de formação, a variável está no expoente, com domínio e contradomínio nos números reais. O domínio da função exponencial são os números reais, e o contradomínio são os números reais positivos diferentes de zero. A sua lei de formação pode ser descrita por f(x) =a^X, em que a é um número real positivo diferente de 1.

Exemplos: f(x) = 4^X

f(x) = (0,1)^X

f(x) = (⅔)^X

PROPRIEDADES DA FUNÇÃO EXPONENCIAL

1ª propriedade:

Se x = 0, logo f(x) = 1

Em uma função exponencial, f(0) = 1. Essa propriedade não passa de uma consequência das propriedades de potência, já que a base de todo número diferente de 0 elevado a 0 é igual a 1. f(0) = a0=1

2ª propriedade:

A função exponencial é injetiva. 

Isso significa que, para valores diferentes de x, a imagem também será diferente, ou seja, f(x1) ≠ f(x2) com x1 ≠ x2. Ser injetiva significa que, para valores diferentes de y, existirá um único valor de x que faz com que f(x) seja igual a y.

3ª propriedade:

Se a > 1, a função será crescente

Todas as vezes que a >1, independentemente do valor de x, essa propriedade diz que a função exponencial é crescente.

4ª propriedade:

Se 0 < a < 1, a função será decrescente

Para as funções decrescentes, avalia-se 0 < a < 1, ou seja, “a” fica entre o número 0 e o número 1.

5ª propriedade:

O gráfico da função exponencial nunca corta o eixo x. 

Por menor que seja o valor da imagem, ele nunca chegará a ser 0. Dizemos que ele tende a 0, mas não existe valor de x que faça com que f(x) = 0

GRÁFICO DA FUNÇÃO EXPONENCIAL

A função exponencial pode ser representada através de um gráfico traçado a partir de pontos no plano cartesiano. Para traçar o gráfico de uma função exponencial, é necessário encontrar o valor numérico para alguns valores de x. Existem duas possibilidades para o comportamento do gráfico, ele pode ser crescente ou decrescente.

FUNÇÃO EXPONENCIAL CRESCENTE

O gráfico da função f(x) = a^x é crescente quando a base é um número maior do que 1, ou seja, quando a > 1. Nesse caso, quanto maior o valor de x maior será o valor de y.

O gráfico da função exponencial é decrescente quando a base é um número maior que 0 e menor que 1, ou seja, quando 0<a<1. Caso ela seja decrescente, quanto maior o valor de x menor será o valor de y.

FUNÇÃO EXPONENCIAL DECRESCENTE