Usuário:Lechatjaune/Método de Newton

Em análise numérica, o método de Newton (ou método de Newton-Raphson) tem o objetivo de estimar as raízes de uma função. Ou seja, encontrar o x que satisfaça a condição f(x)=0, onde f(x) é uma função diferenciável. Já são conhecidos diferentes métodos para encontrar as raízes de uma equação como, por exemplo, o método de bisseção e da falsa posição. No entanto, esses métodos tem convergência lenta, ao contrario do método de Newton, que apresenta uma convergência rápida.

O método de Newton pode ser apresentado através de uma expansão de uma função pelo polinômio de Taylor em torno de x₀:

$f(x_{0})=f(x_{0})+(x-x_{0})f'(x_{0})+(x-x_{0}){\frac {2}{2!}}f''(x_{0})+...$

Considerando que o polinômio de Taylor seja de primeiro grau e supondo que a função f(x) seja bem aproximada por uma reta, o ponto que essa reta cruza o eixo x, esta próximo ao ponto que a função cruza o eixo x. Este ponto x para o qual a função cruza o zero será: .

$0=f(x_{0})+(x-x_{0})f'(x_{0})$

$x=x_{0}-{\frac {f(x_{0})}{f'(x_{0})}}$

Como o método de Newton é um método iterativo, é interessante o apresentar da seguinte forma:

$x_{n+1}=x_{n}-{\frac {f(x_{n})}{f'(x_{n})}}$,

onde n indica a n-ésima iteração do algoritmo e $f'(x_{n})$ é a derivada da função f em x_n.

O método inicia com uma aproximação inicial de x_n que gera a sequência até que a precisão desejada seja alcançada. A escolha de x_n é crucial, pois a escolha do ponto inicial pode gerar uma reta tangente que não represente bem a função naquele ponto, o que ocasionara uma não-convergencia do método.

Este é considerado por muitos autores o melhor método para encontrar sucessivas melhores aproximações de raízes (ou zeros) de uma determinada função real. A convergência frequentemente é rápida, em especial se a estimativa inicial (ou chute inicial) está "suficientemente próximo" da raiz da função. O método é atribuído a Sir Isaac Newton (1643-1727) e Joseph Raphson (1648-1715).

Em 1984, Allan J. Macleod num artigo da International Journal of Mathematical Education in Science and Technology, mostrou que o método iterativo de Newton-Raphson para equações não lineares pode ser considerado um membro da família geral de um parâmetro de métodos de segunda ordem .

Análise gráfica do Método de Newton

As três primeiras iterações do método de Newton.

Através da análise gráfica, toma-se um ponto qualquer do domínio da função, calcula-se a equação da tangente (derivada) da função nesse ponto, calcula-se o intercepto da tangente ao eixo das abcissas a fim de encontrar um novo ponto do domínio da função e assim sucessivamente até que a raiz da função seja encontrada (exceto nos casos em que o método não converge).

$f'(x_{0})={\frac {f(x_{0})-0}{x_{0}-x_{1}}}$

$x_{0}-x_{1}={\frac {f(x_{0})}{f'(x_{0})}}$

$x_{1}=x_{0}-{\frac {f(x_{0})}{f'(x_{0})}}$

$x_{n+1}=x_{n}-{\frac {f(x_{n})}{f'(x_{n})}}$,

onde n indica a n-ésima iteração do algoritmo e $f'(x_{n})$ é a derivada da função f em x_n.

Condições para a convergência do Método de Newton

Para garantir a convergência do Método de Newton algumas condições são necessárias. Considerando um intervalo [a,b] que contenha apenas uma raiz nessa intervalo, o método será convergente se :

1. a função $f(x)$ for continua e diferenciável nesse intervalo [a,b]
2. $f'(x){\text{≠}}0$ , ∀ ∈ [a,b]
   1. Caso $f'(x)=0$ , não podemos determinar o termo seguinte da sequencia $x_{n+1}$, que é o número que corresponde ao ponto de interseção do eixo horizontal com a reta tangente ao gráfico de $f$ em $(x_{0},f(x_{0}))$.
3. $f''(x)$ é de sinal constante em [a,b]
4. $f(x_{0})f''(x){\text{≥0}}$ para qualquer x do intervalo [a,b]

Resolução de sistemas não-lineares

O método de Newton também pode ser generalizado para a resolução de sistemas não-lineares. Seja o sistema de equações:

$f_{1}(x_{1},x_{2},...,x_{n})=0$

$f_{2}(x_{1},x_{2},...,x_{n})=0$

......

$f_{n}(x_{1},x_{2},...,x_{n})=0$

O sistema pode ser representado de forma vetorial:

$F(x)=0$

onde: $x=[x_{1},x_{2},...x_{n}]^{T}$

Supondo que $F(X)$ seja diferenciável e que possamos admitir que $x^{n}$ seja uma aproximação de sua solução, para a resolução de um sistema de equações não-lineares é feito uma linearização de $F(x)$ através de uma expansão em série de Taylor vetorial de $F(x)$ no ponto $x^{n}$

$F(x)=F(x^{n})+J(x^{n})(x-x^{n})$

Onde $J(x^{n})$ é a Matriz Jacobiana. Assim, o processo iterativo de Newton para encontrar as raízes do sistema não-linear pode ser escrito como:

$x^{n+1}=x^{n}-J(x^{n})^{-1}F(x^{n})$ , n>0

$x_{0}=[x_{1}x_{2}...x_{n}]^{T}$ dados iniciais conhecidos

Afim de tornar mais fácil a resolução do sistema, define-se Δ$n=x^{n+1}-x^{n}$ , e resolve-se o sistema:

$J(x^{n})$ Δ$n=-F(x^{n})$

Assim, dado um sistema de equações, é necessário construir a matriz jacobiana desse sistema, aplicar o ponto inicial conhecido $x^{0}$ na matriz jacobiana $J(x^{0})$ e no conjunto de equações $F(x^{0})$, tendo como resposta o valor de Δn. O próximo ponto de iteração será dado por $x^{n+1}=$Δ$n+x^{0}$.

Ligações externas

• Roots of a function - Rosetta Code - implementações em diversas linguagens de programação