Variedade complexa

Em geometria diferencial e topologia , uma variedade complexa é definido de maneira que cada vizinhança possua uma correspondencia a um n-espaço complexo atraves de uma mudança ou sistema de coordenadas analiticas .ou seja, Mais precisamente, uma variedade complexa tem um atlas suave de cartas para o disco unitario aberto ^[1] em $\mathbf {C} ^{n}$ , tais que a mudança de coordenadas entre cartas seja holomórfica.

O termo variedade complexa geralmente e utlizado para representar uma variedade definida como acima (o qual pode ser especificado como uma variedade complexa integrável), e uma estrutura quase complexa, como discutida abaixo.

Implicações da estrutura complexa

Dado que funções analíticas complexas são muito mais rígidas que as funções de classe $C$ ^∞, as teorias de variedades $C$ ^∞ e complexas têm aspectos muito diferentes: variedades complexas compactas são muito mais próximas a variedades algébricas que as variedades diferenciáveis.

Por exemplo, o teorema da imersão de Whitney nos diz que cada variedade $C$ ^∞ pode ser imersa como uma subvariedade de R $^{n}$ , aonde é "raro" para uma variedade complexa ter uma imersão holomórfica em Cⁿ. Considera-se por exemplo qualquer compacto, variedade complexa conectada $M$ : qualquer função holomórfica sobre ele é constante localmente pelo teorema de Liouville. Agora se nós temos uma imersão holomórfica de M em Cⁿ, então as funções coordenadas de Cⁿ se restringirão às funções holomórficas não-contantes em M, contradizendo a compactação, exceto no caso que M é apenas um ponto. variedades complex que podem ser imersas em Cⁿ são chamadas distribuições de Stein e formam uma classe muito especial de variedades, incluindo, por exemplo, variedades algébricas complexas $C$ ^∞ refinadas.

A classificação de distribuições complexas é muito mais sutil que a de distribuições diferenciáveis. Por exemplo, enquanto em dimensões outra que não quatro, uma dada distribuição topológica tem mais finitas estruturas $C$ ^∞, uma distribuição topológica sustentando uma estrutura complexa pode e frequentemente o faz sustentar incontáveis estruturas complexas. superfícies de Riemann, distribuições bidimensionais munidas com uma estrutura complexa, as quais são topologicamente classificadas pelo gênero, são um importante exemplo deste fenõmeno. O conjunto de estruturas complexas sobre uma dada superfície orientada, equilalência biholomórfica em de módulo, em si forma uma variedade algébrica chamada um espaço de módulos, estrutura a qual é objeto de ativa pesquisa.

Desde que os mapas de transição entre cartas são biholomórficos, distribuições complexas são, em particular, $C$ ^∞ e canonicamente orientadas (não apenas orientáveis: um mapa biholomórfico a (um subconjunto de) $\mathbf {C} ^{n}$ dá uma orientação, como mapas biholomórficos são preservantes da orientação).

Exemplos de variedades complexas

Superfícies de Riemann.
O produto Cartesiano de duas variedades complexas.
A imagem inversa de qualquer valor não crítico de um mapa holomórfico.

Variedades algébricas complexas lisas

Variedades algébricas complexas lisas são estruturas complexas, incluindo:

Espaços vetoriais complexos.
Espaços complexos projetivos^[2], $\mathbb {CP} ^{n}$ .
Grassmannianos complexos.
Grupos de Lie complexos, tais como GL(n,C) ou Sp(n,C).

Similarmente, os quaterniônicos análogos destes são também estruturas complexas.

Simplesmente conectadas

As estruturas simplesmente conectadas 1-dimensionais complexas são:

$\Delta$ , o disco unidade em $\mathbb {C}$
$\mathbb {C}$ , o plano complexo
${\hat {\mathbb {C} }}$ , a esfera de Riemann

Note-se que há inclusões entre estes como $\Delta \subset \mathbb {C} \subset {\hat {\mathbb {C} }}$ , mas que não há nenhum mapa não constante na outra direção, pelo teorema de Liouville.

Disco vs. Espaço vs. Polidisco

Os seguintes espaços são diferentes do ponto de vista das suas estruturas complexas, mostrando que a geometria e mais rígida que a característica das suas propias estruturas complexas (comparadas a estruturas lisas):

o disco unitario ou bola aberta, $\{z\in \mathbb {C} ^{n}\mid \lVert z\rVert <1\}$
palno complexo $\mathbb {C} ^{n}$
o polidisco $\{z=(z_{1},z_{2},\dots ,z_{n})\in {\mathbb {C} }^{n}\mid \vert z_{i}\vert <1,{\mbox{ para todo }}i=1,\dots ,n\}$

Notas

↑ Um deve usar o disco unidade aberto em $\mathbf {C} ^{n}$ como o espaço modelo em vez de $\mathbf {C} ^{n}$ porque não são isomórficos, diferentemente de variedades reais.
↑ Isto significa que todos os espaço projetivos complexos são orientáveis, em contraste com o caso real

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[1] Um deve usar o disco unidade aberto em $\mathbf {C} ^{n}$ como o espaço modelo em vez de $\mathbf {C} ^{n}$ porque não são isomórficos, diferentemente de variedades reais.

[2] Isto significa que todos os espaço projetivos complexos são orientáveis, em contraste com o caso real

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