Comprimento da circunferência

Em geometria, o comprimento da circunferência (do latim circumferens, que significa "carregar ao redor") é o perímetro de uma circunferência ou elipse.^[1] A circunferência é o comprimento do arco do círculo, como se ele fosse aberto e endireitado em um segmento de reta.^[2] De maneira geral, o perímetro é o comprimento da curva em torno de qualquer figura fechada.

Círculo

O comprimento de um círculo é a distância ao redor dele, mas se, como em muitos tratamentos elementares, a distância for definida em termos de linhas retas, isso não poderá ser usado como definição. Nessas circunstâncias, a circunferência de um círculo pode ser definida como o limite dos perímetros de polígonos regulares inscritos à medida que o número de lados aumenta sem limites.^[3] O termo comprimento da circunferência é usado ao medir objetos físicos, bem como ao considerar formas geométricas abstratas.

Relação com $π$

O comprimento de uma circunferência está relacionada a uma das mais importantes constantes matemáticas. Essa constante, pi, é representada pela letra grega $π$ . Os primeiros dígitos decimais do valor numérico de $π$ são $3,141592653589793...$ ^[4]

Pi é definido como a razão do comprimento $C$ de uma circunferência em relação ao seu diâmetro $d$ : $\pi ={\frac {C}{d}}.$

Ou, equivalentemente, como a razão entre a circunferência e o dobro do raio. A fórmula acima pode ser reorganizada para isolar $C$ :

${C}=\pi \cdot {d}=2\pi \cdot {r}.\!$

A razão entre o comprimento da circunferência e seu raio é chamada de constante do círculo e é equivalente a $2 π$ . O valor $2 π$ também é a quantidade de radianos em uma volta. O uso da constante matemática $π$ é onipresente na matemática, na engenharia e na ciência.

Em A Medida do Círculo [en], escrito por volta de 250 a.C., Arquimedes mostrou que essa proporção ( $C/d,$ já que ele não usou o nome $π$ ) era maior que 31071 mas menor que 317 calculando os perímetros de um polígono regular inscrito e circunscrito de 96 lados.^[5] Esse método de aproximação de $π$ foi usado durante séculos, obtendo mais precisão com o uso de polígonos com um número cada vez maior de lados. O último cálculo desse tipo foi realizado em 1630 por Christoph Grienberger, que usou polígonos com $1040$ lados.

Elipse

A noção de perímetro pode ser generalizada para elipses. Não existe uma fórmula geral para o comprimento de uma elipse em termos dos semieixos maior e menor da elipse que use apenas funções elementares. Entretanto, há fórmulas aproximadas em termos desses parâmetros. Uma dessas aproximações, devida a Euler (1773), para a elipse canônica, ${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1,$

é $C_{\rm {elipse}}\sim \pi {\sqrt {2\left(a^{2}+b^{2}\right)}}.$

Alguns limites inferiores e superiores do comprimento da elipse canônica com $a \geq b$ são:^[6] $2\pi b\leq C\leq 2\pi a,$ $\pi (a+b)\leq C\leq 4(a+b),$ $4{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\leq C\leq \pi {\sqrt {2\left(a^{2}+b^{2}\right)}}.$

Aqui, o limite superior $2 π a$ é o comprimento de um círculo concêntrico circunscrito passando pelos pontos finais do eixo maior da elipse, e o limite inferior $4{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}$ é o perímetro de um losango inscrito com vértices nos pontos finais dos eixos maior e menor.

O comprimento de uma elipse pode ser expressa exatamente em termos da integral elíptica completa do segundo tipo.^[7] Mais precisamente, $C_{\rm {elipse}}=4a\int _{0}^{\pi /2}{\sqrt {1-e^{2}\sin ^{2}\theta }}\ d\theta ,$

em que $a$ é o comprimento do semi-eixo maior e $e$ é a excentricidade ${\sqrt {1-b^{2}/a^{2}}}.$

Ver também

Comprimento do arco – Distância ao longo de uma curva
Área – Tamanho de uma superfície bidimensional
Desigualdade isoperimétrica – Desigualdade geométrica que estabelece um limite inferior para a área da superfície de um conjunto dado seu volume

Referências

↑ San Diego State University (2004). «Perimeter, Area and Circumference» (PDF) (em inglês). Addison-Wesley. Cópia arquivada (PDF) em 6 de outubro de 2014
↑ Bennett, Jeffrey; Briggs, William (2005), Using and Understanding Mathematics / A Quantitative Reasoning Approach, ISBN 978-0-321-22773-7 (em inglês) 3rd ed. , Addison-Wesley, p. 580
↑ Jacobs, Harold R. (1974), Geometry, ISBN 0-7167-0456-0 (em inglês), W. H. Freeman and Co., p. 565
↑ Sloane, N. J. A. (ed.). «Sequência A000796». On-Line Encyclopedia of Integer Sequences (em inglês). OEIS Foundation
↑ Katz, Victor J. (1998), A History of Mathematics / An Introduction, ISBN 978-0-321-01618-8 (em inglês) 2nd ed. , Addison-Wesley Longman, p. 109
↑ Jameson, G.J.O. (2014). «Inequalities for the perimeter of an ellipse». Mathematical Gazette (em inglês). 98 (499): 227–234. JSTOR 3621497. doi:10.2307/3621497
↑ Almkvist, Gert; Berndt, Bruce (1988), «Gauss, Landen, Ramanujan, the arithmetic-geometric mean, elipses, $π$ , e o Ladies Diary», American Mathematical Monthly, 95 (7): 585-608, JSTOR 2323302, MR 966232, doi:10.2307/2323302

Ligações externas

Numericana - Circunferência de uma elipse (em inglês)

[1] San Diego State University (2004). «Perimeter, Area and Circumference» (PDF) (em inglês). Addison-Wesley. Cópia arquivada (PDF) em 6 de outubro de 2014

[2] Bennett, Jeffrey; Briggs, William (2005), Using and Understanding Mathematics / A Quantitative Reasoning Approach, ISBN 978-0-321-22773-7 (em inglês) 3rd ed. , Addison-Wesley, p. 580

[3] Jacobs, Harold R. (1974), Geometry, ISBN 0-7167-0456-0 (em inglês), W. H. Freeman and Co., p. 565

[4] Sloane, N. J. A. (ed.). «Sequência A000796». On-Line Encyclopedia of Integer Sequences (em inglês). OEIS Foundation

[5] Katz, Victor J. (1998), A History of Mathematics / An Introduction, ISBN 978-0-321-01618-8 (em inglês) 2nd ed. , Addison-Wesley Longman, p. 109

[6] Jameson, G.J.O. (2014). «Inequalities for the perimeter of an ellipse». Mathematical Gazette (em inglês). 98 (499): 227–234. JSTOR 3621497. doi:10.2307/3621497

[7] Almkvist, Gert; Berndt, Bruce (1988), «Gauss, Landen, Ramanujan, the arithmetic-geometric mean, elipses, $π$ , e o Ladies Diary», American Mathematical Monthly, 95 (7): 585-608, JSTOR 2323302, MR 966232, doi:10.2307/2323302

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