Volta (geometria)

Uma volta (símbolo tr, pla ou N) é uma unidade de medida de ângulo plano que é igual a $2 π$ radianos, 360 graus ou 400 grados. Assim, é a medida angular subentendida por uma circunferência completa no seu centro. Como uma unidade angular, uma volta também corresponde a um ciclo (símbolo c)^[1] ou a uma rotação (símbolo rot ou r).^[2] Unidades de frequência frequentemente relacionadas são ciclos por segundo (cps) e rotações por minuto (rpm). A unidade angular de volta é útil quando relacionadas com enrolamentos (por exemplo, transformadores), objetos girando, índice de curvas, entre outros.

Rotações no sentido anti-horário ao redor do ponto central, onde uma rotação completa corresponde a um ângulo de rotação de 1 volta.

No ISQ, um "número de voltas" arbitrário (também conhecido como "número de rotações" ou "número de ciclos") é formalizado como uma grandeza adimensional chamada rotação, definida como a razão de um dado ângulo e sua volta completa. É representado pelo símbolo N. (Ver abaixo para a fórmula.) Subdivisões de uma volta incluem meia volta e um quarto de volta, abrangendo uma ângulo raso e um ângulo reto, respectivamente; prefixos métricos também podem ser utilizados, como em centivolta e milivolta, por exemplo.

Outra unidade comum para representar ângulos é o radiano, que geralmente é expresso em termos de $π$ (pi). O símbolo $π$ , que representa meia volta, foi desenvolvido por William Jones em 1706 e depois popularizado por Leonhard Euler.^[3]^[4] Em 2010, Michael Hartl propôs usar em vez disso o símbolo $τ$ (tau), igual a $2 π$ e correspondendo a uma volta completa, para uma maior simplicidade conceitual.^[5] Essa proposta inicialmente não obteve ampla aceitação na comunidade matemática,^[6] mas a constante se tornou mais difundida,^[7] tendo sido adicionada a várias linguagens de programação e calculadoras importantes.

Símbolos da unidade

"N" nas unidades do ISQ e do SI

Um conceito relacionado à unidade angular "volta", definida pelo Sistema Internacional de Grandezas (ISQ) e adotada no Sistema Internacional de Unidades (SI), é a grandeza física volta (símbolo N), definida como o número de rotações:^[8]

N é o número (não necessáriamente inteiro) deo rotações, por exemplo, de um corpo em rotação de um dado eixo. Seu valor é dado por:
N = φ2π rad
onde φ denota a medida da posição angular.

A definição acima faz parte do ISQ, formalizado no padrão internacional ISO 80000-3 (espaço e tempo),^[8] e adotado no SI.^[9]^[10] No ISQ/SI, a rotação é usada para derivar a frequência de rotação, n=dN/dt, com a unidade base do SI do inverso do segundo (s^-1); Unidades de frequência relacionadas comuns são hertz (Hz), ciclos por segundo (cps) e rotações por minuto (rpm).

A versão obsoleta ISO 80000-3:2006 definiu "rotação" como um nome especial para a grandeza adimensional "um",^[a] que também recebeu outros nomes especiais, como o radiano.^[b] Apesar de sua homogeneidade dimensional, essas duas unidades adimensionais especialmente nomeadas são aplicáveis para tipos de grandeza não comparáveis: rotação e ângulo, respectivamente.^[12] "Ciclo" também é mencionado na ISO 80000-3, na definição de período.^[c]

"pla" na UE e na Suiça

O padrão alemão DIN 1315 (março de 1974) propôs o símbolo da unidade "pla" (do latim: plenus angulus, "ângulo completo") para voltas.^[13]^[14] Abordado no DIN 1301-1 (outubro de 2010), o chamado Vollwinkel ("ângulo completo") não é uma unidade do SI. No entanto, é uma unidade de medida legal na União Europeia^[15]^[16] e na Suíça.^[17]

"tr" nas calculadoras

As calculadoras científicas HP 39gII e HP Prime suportam o símbolo de unidade "tr" para voltas desde 2011 e 2013, respectivamente. O suporte para "tr" também foi adicionado ao newRPL para a HP 50g em 2016 e para a hp 39g+, HP 49g+, HP 39gs e HP 40gs em 2017.^[18]^[19] Um modo angular TURN também foi sugerido para o WP 43S,^[20] mas a calculadora implementa "MUL $π$ " (múltiplos de $π$ ) como modo e unidade desde 2019.^[21] ^[22]

Propostas para uma única letra representar $2 π$

Um arco de uma circunferência com o mesmo comprimento de seu raio corresponde ao ângulo de 1 radiano. Uma circunferência completa corresponde a uma volta completa, ou aproximadamente 6,28 radianos, expresso aqui usando a letra grega tau (

τ

).

O significado do símbolo $π$ não foi originalmente fixado à razão entre o comprimento da circunferência e o diâmetro. Em 1697, David Gregory usou $π ρ$ (pi sobre rô) para denotar o perímetro de uma circunferência dividida pelo seu raio.^[23]^[24] No entanto, anteriormente, em 1647, William Oughtred havia usado $δ π$ (delta sobre pi) para a razão entre o diâmetro e o perímetro. O primeiro uso do símbolo $π$ por si só com seu significado atual (perímetro dividido pelo diâmetro) foi em 1706 pelo matemático galês William Jones.^[25] Euler então adotou o símbolo com esse significado, levando ao seu uso generalizado.^[3]

Em 2001, Robert Palais propôs usar o número de radianos em uma volta como a constante de círculo fundamental em vez de $π$ , o que equivale ao número de radianos em meia volta, para tornar a matemática mais simples e intuitiva. Sua proposta utilizava um símbolo de "π com três pernas" para denotar a constante ( $\pi \!\;\!\!\!\pi =2\pi$ ).^[26]

Em 2008, Thomas Colignatus propôs o uso da letra grega maiúscula teta, Θ, para representar 2 $π$ .^[27] A letra grega teta deriva da letra fenícia e hebraica tete, 𐤈 ou ט, e observa-se que a versão mais antiga do símbolo, que significa roda, se assemelha a uma roda com quatro raios.^[28] Também foi proposto o uso do símbolo de roda, tete, para representar o valor 2 $π$ , e mais recentemente foi estabelecida uma conexão entre outras culturas antigas sobre a existência de um símbolo de roda, sol, círculo ou disco — ou seja, outras variações de tete — como representação para 2 $π$ .^[29]

Em 2010, Michael Hartl propôs usar a letra grega tau para representar a constante da circunferência: $τ = 2 π$ . Ele ofereceu duas razões. Primeiro, $τ$ é o número de radianos em uma volta, o que permite expressar frações de uma volta de forma mais direta: por exemplo, 34 de uma volta seria representada como $3 τ 4$ rad em vez de $3 τ 4$ rad. Segundo, $τ$ se assemelha visualmente a $π$ , cuja associação com a constante da circunferência é inevitável.^[5] O Manifesto Tau^[30] de Hartl fornece muitos exemplos de fórmulas consideradas mais claras quando $τ$ é usado em vez de $π$ ,^[31]^[32]^[33] como uma associação mais estreita com a geometria da identidade de Euler usando $e iτ = 1$ em vez de $e iπ = -1$ .

Inicialmente, nenhuma dessas propostas recebeu ampla aceitação pelas comunidades matemáticas e científicas.^[6] No entanto, o uso de $τ$ tornou-se mais difundido.^[7] Por exemplo:

Em 2012, o site educacional Khan Academy começou a aceitar respostas expressas em termos de $τ$ .^[34]
A constante $τ$ foi disponibilizada na calculadora do Google, na calculadora gráfica Desmos^[35] e em várias linguagens de programação, como Python,^[36]^[37] Raku,^[38] Processing,^[39] Nim,^[40] Rust,^[41] GDScript,^[42] UE Blueprints,^[43] Java,^[44]^[45] e .NET.^[46]^[47]
Também foi utilizada em pelo menos um artigo de pesquisa matemática,^[48] escrito pelo defensor de $τ$ Peter Harremoës.^[49]

A seguinte tabela apresenta com várias identidades aparecem quando $τ = 2 π$ é utilizado em vez de $π$ .^[26]^[50] Para uma lista mais completa, veja Lista de fórmulas envolvendo $π$ .


Fórmula	Usando $π$	Usando $τ$	Notas
Ângulo subtendido em 14 de uma circunferência	$π 2$ rad	$τ 4$ rad	$τ 4 rad = 14 de volta$
Comprimento $C$ de uma circunferência de raio $r$	$C = 2 π r$	$C = τ r$
Área de um círculo	$A = π r 2$	$A = τ r 2 2$	A área de um setor de ângulo $θ$ é $A = θ r 2 2$ .
Área de um polígono regular de $n$ lados com circunraio unitário	$A = n 2 sin 2π n$	$A = n 2 sin τ n$
Relação de recorrência entre os volumes de uma $n$ -bola e uma $n$ -esfera	$V n (r) = r n S n -1 (r)$ $S n (r) = 2 π r V n -1 (r)$	$V n (r) = r n S n -1 (r)$ $S n (r) = τ r V n -1 (r)$	$V 0 (r) = 1$ $S 0 (r) = 2$
Fórmula integral de Cauchy	$f(a)={\frac {1}{{\color {orangered}2\pi }i}}\oint _{\gamma }{\frac {f(z)}{z-a}}\,dz$	$f(a)={\frac {1}{{\color {orangered}\tau }i}}\oint _{\gamma }{\frac {f(z)}{z-a}}\,dz$
Distribuição normal padrão	$\varphi (x)={\frac {1}{\sqrt {\color {orangered}2\pi }}}e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}$	$\varphi (x)={\frac {1}{\sqrt {\color {orangered}\tau }}}e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}$
Fórmula de Stirling	$n!\sim {\sqrt {{\color {orangered}2\pi }n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}$	$n!\sim {\sqrt {{\color {orangered}\tau }n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}$
Identidade de Euler	0 $e i π = -1$ $e i π + 1 = 0$	0 $e i τ = 1$ $e i τ - 1 = 0$	Para qualquer inteiro $k$ , $e ikτ = 1$
raízes $n$ -ésimas da unidade	$e^{{\color {orangered}2\pi }i{\frac {k}{n}}}=\cos {\frac {{\color {orangered}2}k{\color {orangered}\pi }}{n}}+i\sin {\frac {{\color {orangered}2}k{\color {orangered}\pi }}{n}}$	$e^{{\color {orangered}\tau }i{\frac {k}{n}}}=\cos {\frac {k{\color {orangered}\tau }}{n}}+i\sin {\frac {k{\color {orangered}\tau }}{n}}$
Constante de Planck	$h={\color {orangered}2\pi }\hbar$	$h={\color {orangered}\tau }\hbar$	$ħ$ é a constante reduzida de Planck.
Frequência angular	$\omega ={\color {orangered}2\pi }f$	$\omega ={\color {orangered}\tau }f$

Subdivisões

Uma volta pode ser dividida em 100 centivoltas ou 1000 millivoltas, sendo que cada millivolta corresponde a um ângulo de 0,36°, que também pode ser escrito como 21′ 36″.^[51]^[52] Um transferidor dividido em centiturnos é normalmente chamado de "transferidor de porcentagem".

Embora os transferidores de porcentagem existam desde 1922,^[53] os termos centivoltas, millivoltas e microvoltas foram introduzidos muito mais tarde pelo astrônomo britânico Fred Hoyle em 1962.^[51]^[52] Alguns dispositivos de medição para artilharia e observação de satélites possuem millivoltas como escala.^[54]^[55]

Frações binárias de uma volta também são usadas. Tradicionalmente, marinheiros dividiam uma volta em 32 pontos subcolaterais, que implicitamente têm uma separação angular de 1/32 de volta. O grau binário, também conhecido como radiano binário (ou brad), é 1256 de volta.^[56] O grau binário é usado em computação para um ângulo poder ser representado com a máxima precisão possível em um único byte. Outras medidas de ângulo usadas em computação podem ser baseadas na divisão de uma volta inteira em $2 n$ partes iguais para outros valores de $n$ .^[57]

Conversão de unidade

O comprimento do círculo unitário (cujo raio é um) é

2 π

.

Uma comparação de ângulos expressos em graus e radianos

Uma volta é igual a $2 π$ (≈ 7000628318530717958♠6.283185307179586)^[58] radianos, 360 graus, ou 400 grados.

Conversão de ângulos comuns
Voltas	Radianos		Graus	grados
0 volta	0 rad		0°	0^g
172 de volta	$τ$ 72 rad^[d]	$π$ 36 rad	5°	55^g
124 de volta	$τ$ 24 rad	$π$ 12 rad	15°	162^g
116 de volta	$τ$ 16 rad	$π$ 8 rad	22.5°	25^g
112 de volta	$τ$ 12 rad	$π$ 6 rad	30°	331^g
110 de volta	$τ$ 10 rad	$π$ 5 rad	36°	40^g
18 de volta	$τ$ 8 rad	$π$ 4 rad	45°	50^g
12 $π$ de volta	1 rad		c. 57.3°	c. 63.7^g
16 de volta	$τ$ 6 rad	$π$ 3 rad	60°	662^g
15 de volta	$τ$ 5 rad	2 $π$ 5 rad	72°	80^g
14 de volta	$τ$ 4 rad	$π$ 2 rad	90°	100^g
13 de volta	$τ$ 3 rad	2 $π$ 3 rad	120°	1331^g
25 de volta	2 $τ$ 5 rad	4 $π$ 5 rad	144°	160^g
12 de volta	$τ$ 2 rad	$π$ rad	180°	200^g
34 de volta	3 $τ$ 4 rad	3 $π$ 2 rad	270°	300^g
1 volta	$τ$ rad	2 $π$ rad	360°	400^g

Ver também

Notas e referências

Notas

↑ "O nome especial rotação, símbolo r, para esta unidade [nome 'um', símbolo '1'] é ambplamente utilizado em especificações de máquinas rotatórias."^[11]
↑ "As unidades de medida de quantidades de dimensão um são números. Em alguns casos, estas unidades de medida recebem nomes especiais, por exemplo, radiano..."^[11]
↑ "3-14) duração do período, período: duração (item 3-9) de um ciclo de um evento periódico"^[8]
↑ Nesta tabela, $𝜏$ denota $2 π$ .

Este artigo foi inicialmente traduzido, total ou parcialmente, do artigo da Wikipédia em inglês cujo título é «Turn (angle)», especificamente desta versão.

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Ligações externas

«Manifesto tau» (em inglês)

[12] "O nome especial rotação, símbolo r, para esta unidade [nome 'um', símbolo '1'] é ambplamente utilizado em especificações de máquinas rotatórias."^[11]

[13] "As unidades de medida de quantidades de dimensão um são números. Em alguns casos, estas unidades de medida recebem nomes especiais, por exemplo, radiano..."^[11]

[15] "3-14) duração do período, período: duração (item 3-9) de um ciclo de um evento periódico"^[8]

[62] Nesta tabela, $𝜏$ denota $2 π$ .

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