Diferencial de uma função

Em cálculo, o diferencial representa a parte principal da variação de uma função $y=f(x)$ com relação à variações na variável independente. O diferencial $dy$ é definido por: $$dy=f'(x)\,dx,$$ na qual, $f'(x)$ é a derivada de $f$ em relação a $y$, e $dx$ é uma variável real extra (de modo que $dy$ é uma função de $x$ e de $dx$). A notação é tal que a equação é válida: $$dy={\frac {dy}{dx}}\,dx$$A derivada é representada na notação de Leibniz $dx/dy$, e isso é consistente com o tratamento da derivada como um quociente de diferenciais. Também se escreve: $$df(x)=f'(x)\,dx.$$ O significado preciso das variáveis $dy$ e $dx$ depende do contexto da aplicação e o nível de rigor matemático exigido. O domínio destas variáveis pode ter um significado geométrico particular se o diferencial é considerado como uma forma diferencial particular, ou um significado analítico se o diferencial é considerado como uma aproximação linear para o incremento de uma função.

Neste exemplo, quando $B\rightarrow A$então $\Delta x\rightarrow dx$ e $\Delta y\rightarrow dy$. No limite, obtém-se a derivada e o diferencial da função.

Tradicionalmente, as variáveis $dx$ e $dy$ são consideradas muito pequenas (infinitesimais), e esta interpretação é formalizada em análise não padronizada.

Definição

Uma função $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}$ se diz diferenciável no ponto $a\in \mathbb {R} ^{n}$ se existe uma aplicação linear $\ell :\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}$ tal que:

$\lim _{x\to a}{\dfrac {f(x)-f(a)-\ell (x-a)}{||x-a||}}=0.$

Em tal caso, $\ell =\ell (a)$ denota-se $Df(a)$ e se denomina o diferencial da função $f$ no ponto $a.$

Referências

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Ligações externas

• Diferencial de uma funçãono projeto Wolfram Demonstrations