Difusão de Itō

Em matemática, especificamente em análise estocástica, uma difusão de Itō é uma solução para um tipo específico de equação diferencial estocástica. Esta equação é semelhante à equação de Langevin usada em física para descrever o movimento browniano de uma partícula sujeita a um potencial em um fluido viscoso. As difusões de Itō recebem este nome em homenagem ao matemático japonês Kiyoshi Itō.

Visão geral

Este processo de Wiener (movimento browniano) em um espaço tridimensional (com um caminho amostral exibido) é um exemplo de difusão de Itō.

Uma difusão de Itō homogênea em tempo em um espaço euclidiano de $n$ dimensões $\mathbb {R} ^{n}$ é um processo $X:[0,+\infty )\times \Omega \to \mathbb {R} ^{n}$ definido em um espaço de probabilidade $(\Omega ,\Sigma ,P)$ e que satisfaz uma equação diferencial estocástica da forma:

$\mathrm {d} X_{t}=b(X_{t})\mathrm {d} t+\sigma (X_{t})\mathrm {d} B_{t},$

em que $B$ é um movimento browniano de $m$ dimensões e $b:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}$ e $\sigma :\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n\times m}$ satisfazem a condição de continuidade de Lipschitz usual:

$|b(x)-b(y)|+|\sigma (x)-\sigma (y)|\leq C|x-y|$

para alguma constante $C$ e todo $x,y\in \mathbb {R} ^{n}$. Esta condição garante a existência de uma única solução forte $X$ à equação diferencial estocástica dada acima. O campo vetorial $b$ é conhecido como coeficiente de deriva de $X$. O campo tensorial $\sigma$ é conhecido como o coeficiente de difusão de $X$. É importante notar que $b$ e $\sigma$ não dependem do tempo. Se dependessem do tempo, $X$ seria apenas considerado um processo de Itō, não uma difusão. Difusões de Itō têm uma série de propriedades importantes, que incluem:

• a continuidade amostral e a continuidade de Feller;
• a propriedade de Markov;
• a propriedade forte de Markov;
• a existência de um gerador infinitesimal;
• a existência de um operador característico;
• a fórmula de Dynkin.

Em particular, uma difusão de Itō é um processo contínuo e fortemente markoviano de tal modo que o domínio de seu operador característico inclui todas as funções dupla e continuamente diferenciáveis, sendo uma difusão no sentido definido pelo matemático soviético-americano Eugene Dynkin.

Continuidade

Continuidade amostral

Um difusão de Itō $X$ é um processo contínuo amostral, isto é, para quase todas as realizações $B_{t}(\omega )$ do ruído, $X_{t}(\omega )$ é uma função contínua do parâmetro de tempo $t$. Mais precisamente, há uma "versão contínua" de $X$, um processo contínuo $Y$ tal que:

$\mathbf {P} [X_{t}=Y_{t}]=1{\mbox{ para todo }}t.$

Isto se segue da existência padrão e da teoria da unicidade para soluções fortes de equações diferenciais estocásticas.

Continuidade de Feller

Além de ser contínua e amostral, uma difusão de Itō $X$ satisfaz o requisito mais forte da continuidade de Feller.

Para um ponto $x\in \mathbb {R} ^{n}$, considere que P$^{x}$ denota a lei de $X$, sendo o dado inicial $X_{0}=x$, e considere que $\mathbf {E} ^{x}$denota o valor esperado em relação a P$^{x}$.

Considere que $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ é uma função mensurável de Borel limitada abaixo e defina, para $t\geq 0$ fixo, $u:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ por:

$u(x)=\mathbf {E} ^{x}[f(X_{t})].$

• Semicontinuidade inferior: se $f$ for semicontínua inferior, então, $u$ é semicontínua inferior.
• Continuidade de Feller: se $f$ for limitada e contínua, então, $u$ é contínua.

O comportamento da função $u$ acima quando o tempo $t$ é variado foi abordado pela equação regressiva de Kolmogorov, pela equação de Fokker–Planck, entre outras.

Propriedade de Markov

Propriedade de Markov

Uma difusão de Itō tem a importante propriedade de ser markoviana: o futuro comportamento de $X$, dado o que aconteceu até o tempo $t$, é o mesmo como se o processo tivesse sido iniciado na posição $X_{t}$ no tempo 0. A formulação matemática precisa desta afirmação exige alguma notação adicional.

Considere que $\Sigma _{*}$ denota a filtração natural de $(\Omega ,\Sigma )$ gerada pela movimento browniano $B$. Para $t\geq 0$,

$\Sigma _{t}=\Sigma _{t}^{B}=\sigma \left\{B_{s}^{-1}(A)\subseteq \Omega :0\leq s\leq t,A\subseteq \mathbf {R} ^{n}{\mbox{Borel}}\right\}.$

É fácil mostrar que $X$ é adaptada a $\Sigma _{*}$ (isto é, que cada $X_{t}$ é $\Sigma _{t}$-mensurável), de modo que a filtração natural $F_{*}=F_{*}^{X}$ de $(\Omega ,\Sigma )$ gerada por $X$ tem $F_{t}\subseteq \Sigma _{t}$ para cada $t\geq 0$. Considere que $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ é uma função limitada e mensurável de Borel. Então, para todo $t$ e $h\geq 0$, o valor esperado condicional condicionado na σ-álgebra $\Sigma _{t}$ e o valor esperado do processo "reiniciado" a partir de $X_{t}$ satisfazem a propriedade de Markov:

$\mathbf {E} ^{x}{\big [}f(X_{t+h}){\big |}\Sigma _{t}{\big ]}(\omega )=\mathbf {E} ^{X_{t}(\omega )}[f(X_{h})].$

De fato, $X$ é também um processo de Markov no que se refere à filtração $F_{*}$, como mostra o que segue:

${\begin{aligned}\mathbf {E} ^{x}\left[f(X_{t+h}){\big |}F_{t}\right]&=\mathbf {E} ^{x}\left[\mathbf {E} ^{x}\left[f(X_{t+h}){\big |}\Sigma _{t}\right]{\big |}F_{t}\right]\\&=\mathbf {E} ^{x}\left[\mathbf {E} ^{X_{t}}\left[f(X_{h})\right]{\big |}F_{t}\right]\\&=\mathbf {E} ^{X_{t}}\left[f(X_{h})\right].\end{aligned}}$

Propriedade forte de Markov

A propriedade forte de Markov é uma generalização da propriedade de Markov acima em que $t$ é substituído por um tempo aleatório adequado $T:\Omega \to [0,+\infty ]$ conhecido como tempo de parada. Então, por exemplo, em vez de "reiniciar" o processo $X$ no tempo $t=1$, pode-se "reiniciar" quando quer que $X$ alcance pela primeira vez algum ponto especificado $p$ de $\mathbb {R} ^{n}$.

Como antes, considere $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ uma função limitada e mensurável de Borel. Considere $\tau$ um tempo de parada no que se refere à filtração $\Sigma _{*}$ com $\tau <+\infty$ quase certamente. Então, para todo $h\geq 0$,

$\mathbf {E} ^{x}{\big [}f(X_{\tau +h}){\big |}\Sigma _{\tau }{\big ]}=\mathbf {E} ^{X_{\tau }}{\big [}f(X_{h}){\big ]}.$

Gerador

Definição

Associado a cada difusão de Itō, há um operador diferencial parcial de segunda ordem conhecido como o gerador de difusão. O gerador é muito útil em muitas aplicações e codifica uma grande quantidade de informação sobre o processo $X$. Formalmente, o gerador infinitesimal de uma difusão de Itō $X$ é o operador $A$, que é definido como agindo em funções adequadas $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ por:

$Af(x)=\lim _{t\downarrow 0}{\frac {\mathbf {E} ^{x}[f(X_{t})]-f(x)}{t}}.$

O conjunto de todas as funções $f$ para as quais este limite existe em um ponto $x$ é denotado como $D_{A}(x)$, enquanto $D_{A}$ denota o conjunto de todas as $f$ para as quaIS o limite existe para todo $x\in \mathbb {R} ^{n}$. Pode-se mostrar que qualquer função $f$ compactamente suportada $C^{2}$ (duplamente diferenciável com segunda derivada contínua) repousa em $D_{A}$ e que:

$Af(x)=\sum _{i}b_{i}(x){\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(x)+{\tfrac {1}{2}}\sum _{i,j}\left(\sigma (x)\sigma (x)^{\top }\right)_{i,j}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}(x),$

ou, em termos de gradiente, escalar e produto interno de Frobenius,

$Af(x)=b(x)\cdot \nabla _{x}f(x)+{\tfrac {1}{2}}\left(\sigma (x)\sigma (x)^{\top }\right):\nabla _{x}\nabla _{x}f(x).$

Exemplo

O gerador $A$ para o movimento browniano $B$ padrão de $n$ dimensões, que satisfaz a equação diferencial estocástica $\operatorname {d} X_{t}=\operatorname {d} B_{t}$, é dado por

$Af(x)={\tfrac {1}{2}}\sum _{i,j}\delta _{ij}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}(x)={\tfrac {1}{2}}\sum _{i}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}^{2}}}(x),$

isto é, $A=\Delta /2$, em que $\Delta$ denota o operador de Laplace.

Equações de Kolmogorov e de Fokker–Planck

Ver artigos principais: Equações regressivas de Kolmogorov (difusão) e Equação de Fokker–Planck

O gerador é usado na formulação da equação regressiva de Kolmogorov. Intuitivamente, esta equação diz como o valor esperado de qualquer estatística adequadamente suave de $X$ evolui no tempo: ele deve resolver uma certa equação diferencial parcial em que o tempo $t$ e a posição inicial $x$ são variáveis independentes. Mais precisamente, se $f\in C^{2}(\mathbb {R} ^{n};\mathbb {R} )$ tiver suporte compacto e $u:[0;+\infty )\times \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R}$ for definida por:

$u(t,x)=\mathbf {E} ^{x}[f(X_{t})],$

então, $u(t,x)$ é diferenciável no que diz respeito a $t,u(t,\cdot )\in D_{A}$ para todo $t$ e $u$ satisfaz a seguinte equação diferencial parcial, conhecida como equação regressiva de Kolmogorov:

${\begin{cases}{\dfrac {\partial u}{\partial t}}(t,x)=Au(t,x),&t>0,x\in \mathbb {R} ^{n};\\u(0,x)=f(x),&x\in \mathbb {R} ^{n}.\end{cases}}$

A equação de Fokker–Planck (também conhecida como equação progressiva de Kolmogorov) é, em algum sentido, a "adjunta" da equação regressiva e diz como as funções densidade de probabilidade de $X_{t}$ evoluem com o tempo $t$. Considere que $\rho (t,\cdot )$ é a densidade de $X_{t}$ no que diz respeito à medida de Lebesgue em $\mathbb {R} ^{n}$, isto é, para qualquer conjunto mensurável de Borel $S\subseteq \mathbb {R} ^{n}$:

$\mathbf {P} \left[X_{t}\in S\right]=\int _{S}\rho (t,x)\mathrm {d} x.$

Considere que $A^{*}$ denota o adjunto hermitiano de $A$ (no que diz respeito ao produto interno L²). Então, dado que a posição inicial $X_{0}$ tem a densidade prescrita $\rho _{0}$, $\rho (t,x)$ é diferenciável no que diz respeito a $t$, $\rho (t,\cdot )\in D_{A^{*}}$ para todo $t$ e $\rho$ satisfaz a seguinte equação diferencial parcial, conhecida como a equação de Fokker–Planck:

${\begin{cases}{\dfrac {\partial \rho }{\partial t}}(t,x)=A^{*}\rho (t,x),&t>0,x\in \mathbb {R} ^{n};\\\rho (0,x)=\rho _{0}(x),&x\in \mathbb {R} ^{n}.\end{cases}}$

Fórmula de Feynman–Kac

Ver artigo principal: Fórmula de Feynman–Kac

A fórmula de Feynman–Kac é uma generalização útil da equação regressiva de Kolmogorov. Novamente, $f$ está em $C^{2}(\mathbb {R} ^{n};\mathbb {R} )$ e tem suporte compacto e assume-se que $q:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R}$ é uma função contínua que é limitada abaixo. Define-se uma função $v:[0,+\infty )\times \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R}$ por:

$v(t,x)=\mathbf {E} ^{x}\left[\exp \left(-\int _{0}^{t}q(X_{s})\,\mathrm {d} s\right)f(X_{t})\right].$

A fórmula de Feynman–Kac afirma que $v$ satisfaz a equação diferencial parcial:

${\begin{cases}{\dfrac {\partial v}{\partial t}}(t,x)=Av(t,x)-q(x)v(t,x),&t>0,x\in \mathbb {R} ^{n};\\v(0,x)=f(x),&x\in \mathbb {R} ^{n}.\end{cases}}$

Além disso, se $w:[0,+\infty )\times \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R}$ for $C^{1}$ em tempo, $C^{2}$ em espaço, limitada como $K\times \mathbb {R} ^{n}$ para todo $K$ compacto e satisfizer a equação diferencial parcial acima, então, $w$ deve ser $v$ como definida acima.

A equação regressiva de Kolmogorov é o caso especial da fórmula de Feynman–Kac em que $q(x)=0$ para todo $x\in \mathbb {R} ^{n}$.

Operador característico

Definição

O operador característico de uma difusão de Itō $X$ é um operador diferencial parcial intimamente relacionado com o gerador, mas de certa forma mais geral. É mais adequado para certos problemas, por exemplo na solução do problema de Dirichlet.

O operador característico ${\mathcal {A}}$ de uma difusão de Itō $X$ é definido por:

${\mathcal {A}}f(x)=\lim _{U\downarrow x}{\frac {\mathbf {E} ^{x}\left[f(X_{\tau _{U}})\right]-f(x)}{\mathbf {E} ^{x}[\tau _{U}]}},$

em que os conjuntos $U$ formam uma sequência de conjuntos abertos $U_{k}$ que decrescem ao ponto $x$ no sentido em que:

$U_{k+1}\subseteq U_{k}{\mbox{ e }}\bigcap _{k=1}^{\infty }U_{k}=\{x\}$

e

$\tau _{U}=\inf\{t\geq 0\ :\ X_{t}\not \in U\}$

é o primeiro tempo de saída a partir de $U$ para $X$. $D_{\mathcal {A}}$ denota o conjunto de todas as $f$ para as quais este limite existe para todo $x\in \mathbb {R} ^{n}$ e todas as sequências $\{U_{k}\}$. Se $\mathbf {E} ^{x}[\tau _{u}]=+\infty$ para todos os conjuntos abertos $U$ contendo $x$, define-se:

${\mathcal {A}}f(x)=0.$

Relação com o gerador

O operador característico e o gerador infinitesimal estão muito intimamente relacionados e até mesmo concordam para uma grande classe de funções. Pode-se mostrar que:

$D_{A}\subseteq D_{\mathcal {A}}$

e que

$Af={\mathcal {A}}f{\mbox{ para todo }}f\in D_{A}.$

Em particular, o gerador e o operador característico concordam para todas as funções $f$ $C^{2}$ e nesse caso:

${\mathcal {A}}f(x)=\sum _{i}b_{i}(x){\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(x)+{\tfrac {1}{2}}\sum _{i,j}\left(\sigma (x)\sigma (x)^{\top }\right)_{i,j}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}\,\partial x_{j}}}(x).$

Aplicação do movimento browniano em uma variedade de Riemann

O operador característico de um movimento browniano é uma vez e meia o operador de Laplace-Beltrami. Aqui está o operador de Laplace-Beltrami em uma esfera bimensional.

Acima, o gerador (e assim o operador característico) do movimento browniano em $\mathbb {R} ^{n}$ foi calculado como sendo $\Delta /2$, em que $\Delta$ denota o operador de Laplace. O operador característico é útil ao definir o movimento browniano em uma variedade de Riemann $(M,g)$ de $m$ dimensões: um movimento browniano em $M$ é definido como sendo uma difusão em $M$ cujo operador característico ${\mathcal {A}}$ em coordenadas locais $x_{i}$, $1\leq i\leq m$, é dado por $\Delta _{LB}/2$, em que $\Delta _{LB}$ é operador de Laplace–Beltrami dado em coordenadas locais por:

$\Delta _{\mathrm {LB} }={\frac {1}{\sqrt {\det(g)}}}\sum _{i=1}^{m}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}\left({\sqrt {\det(g)}}\sum _{j=1}^{m}g^{ij}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\right),$

em que $[g^{ij}]=[g_{ij}]^{-1}$ no sentido do inverso da matriz quadrada.

Operador resolvente

Em geral, o gerador $A$ de uma difusão de Itō $X$ não é um operador limitado. Entretanto, se um múltiplo positivo do operador identidade $\mathbf {I}$ for subtraído a partir de $A$, então, o operador resultante é invertível. O inverso deste operador pode ser expresso em termos do próprio $X$ usando o operador resolvente.

Para $\alpha >0$, o operador resolvente $R_{\alpha }$, agindo em funções limitadas, contínuas $g:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R}$, é definido como:

$R_{\alpha }g(x)=\mathbf {E} ^{x}\left[\int _{0}^{\infty }e^{-\alpha t}g(X_{t})\,\mathrm {d} t\right].$

Pode-se mostrar, usando a continuidade de Feller da difusão $X$, que $R_{\alpha }g$ é ele mesmo uma função limitada, contínua. Também, $R_{\alpha }$ e $\alpha \mathbf {I} -A$ são operadores mutuamente inversos:

• Se $f:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R}$ for $C^{2}$ com suporte compacto, então, para todo $\alpha >0$,

$R_{\alpha }(\alpha \mathbf {I} -A)f=f;$

• Se $g:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R}$ for limitada e contínua, então, $R_{\alpha }g$ repousa em $D_{A}$, para todo $\alpha >0$,

$(\alpha \mathbf {I} -A)R_{\alpha }g=g.$

Medidas invariantes

Algumas vezes, é necessário encontrar uma medida invariante para uma difusão de Itō $X$, isto é, uma medida em $\mathbb {R} ^{n}$ que não muda sob o "fluxo" de $X$, ou seja, se $X_{0}$ for distribuída de acordo com tal medida invariante $\mu _{\infty }$, então, $X_{t}$ é também distribuída de acordo com $\mu _{\infty }$ para qualquer $t\geq 0$. A equação de Fokker–Planck oferece uma maneira de encontrar tal medida, pelo menos se tiver uma função densidade de probabilidade $\rho _{\infty }$: se $X_{0}$ for de fato distribuída de acordo com uma medida invariante $\mu _{\infty }$ com densidade $\rho _{\infty }$, então, a densidade $\rho (t,\cdot )$ de $X_{t}$ não muda com $t$, de modo que $\rho (t,\cdot )=\rho _{\infty }$, e então $\rho _{\infty }$ deve resolver a equação diferencial parcial (independente de tempo):

$A^{*}\rho _{\infty }(x)=0,\quad x\in \mathbb {R} ^{n}.$

Isto ilustra uma das conexões entre a análise estocástica e o estudo das equações diferenciais parciais. Reciprocamente, uma dada equação diferencial parcial linear de segunda ordem da forma $\Lambda f=0$ pode ser difícil de resolver diretamente, mas se $\Lambda =A^{*}$ para alguma difusão de Itō $X$ e uma medida invariante para $X$ for fácil de computar, então, a densidade daquela medida oferece uma solução para a equação diferencial parcial.

Medidas invariantes para fluxos de gradiente

Uma medida invariante é comparativamente fácil de computar quando o processo $X$ é um fluxo de gradiente estocástico de forma:

$\mathrm {d} X_{t}=-\nabla \Psi (X_{t})\,\mathrm {d} t+{\sqrt {2\beta ^{-1}}}\,\mathrm {d} B_{t},$

em que $\beta >0$ desempenha o papel de uma temperatura inversa e $\Psi :\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R}$ é um potencial escalar que satisfaz a suavidade adequada e as condições de crescimento. Neste caso, a equação de Fokker–Planck tem uma única solução estacionária $\rho _{\infty }$ (isto é, $X$ tem uma única medida invariante $\mu _{\infty }$ com densidade $\rho _{\infty }$) e é dada pela distribuição de Gibbs:

$\rho _{\infty }(x)=Z^{-1}\exp(-\beta \Psi (x)),$

em que a função de partição $Z$ é dada por:

$Z=\int _{\mathbb {R} ^{n}}\exp(-\beta \Psi (x))\,\mathrm {d} x.$

Além disso, a densidade $\rho _{\infty }$ satisfaz um princípio variacional: isto minimiza sobre todas as densidades de probabilidade $\rho$ em $\mathbb {R} ^{n}$a energia livre funcional $F$ dada por:

$F[\rho ]=E[\rho ]+{\frac {1}{\beta }}S[\rho ],$

em que

$E[\rho ]=\int _{\mathbf {R} ^{n}}\Psi (x)\rho (x)\,\mathrm {d} x$

desempenha o papel de uma energia funcional e

$S[\rho ]=\int _{\mathbf {R} ^{n}}\rho (x)\log \rho (x)\,\mathrm {d} x$

é a negativa da funcional de entropia de Gibbs–Boltzmann. Mesmo quando o potencial $\Psi$ não é bem comportado o bastante para a função de partição $Z$ e a medida de Gibbs $\mu _{\infty }$ a serem definidas, a energia livre $F[\rho (t,\cdot )]$ ainda faz sentido para cada tempo $t\geq 0$, desde que a condição inicial tenha $F[\rho (0,\cdot )]<+\infty$. A energia livre funcional $F$ é, na verdade, uma função de Lyapunov para a equação de Fokker–Planck: $F[\rho (t,\cdot )]$ pode decrescer conforme $t$ aumenta. Assim, $F$ é uma função H para a dinâmica X.

Exemplo

Considere o processo Ornstein–Uhlenbeck $X$ em $\mathbb {R} ^{n}$ que satisfaz a equação diferencial estocástica:

$\mathrm {d} X_{t}=-\kappa (X_{t}-m)\,\mathrm {d} t+{\sqrt {2\beta ^{-1}}}\,\mathrm {d} B_{t},$

em que $m\in \mathbb {R} ^{n}$ e $\beta ,\kappa >0$ são constantes dadas. Neste caso, o potencial $\Psi$ é dado por:

$\Psi (x)={\tfrac {1}{2}}\kappa |x-m|^{2},$

e, então, a medida invariante para $X$ é uma medida gaussiana com densidade $\rho _{\infty }$ dada por:

$\rho _{\infty }(x)=\left({\frac {\beta \kappa }{2\pi }}\right)^{\frac {n}{2}}\exp \left(-{\frac {\beta \kappa |x-m|^{2}}{2}}\right).$

Heuristicamente, para um $t$ grande, $X_{t}$ é aproximadamente normalmente distribuída com média $m$ e variância $(\beta \kappa )^{-1}$. A expressão para a variância pode ser interpretada como se segue: grandes valores de $\kappa$ significam que o poço de potencial $\Psi$ tem "lados muito íngremes", de modo que é improvável que $X_{t}$ se mova para longe do mínimo de $\Psi$ em $m$; de forma semelhante, grandes valores de $\beta$ significam que o sistema é muito "frio" com pouco ruído, de modo que, novamente, é improvável que $X_{t}$ se mova para longe de $m$.

Propriedade martingale

Em geral, uma difusão de Itō não é um martingale. Entretanto, para qualquer $f\in C^{2}(\mathbb {R} ^{2};\mathbb {R} )$ com suporte compacto, o processo $M:[0,+\infty )\times \Omega \rightarrow \mathbb {R}$ definido por:

$M_{t}=f(X_{t})-\int _{0}^{t}Af(X_{s})\,\mathrm {d} s,$

em que $A$ é o gerador de $X$, é um martingale no que diz respeito à filtração natural $F_{*}$ de $(\Omega ,\Sigma )$ por $X$. A prova é simples: segue-se da expressão usual da ação do gerador em funções $f$ suficientemente suaves e do lema de Itō (a regra da cadeia estocástica) que:

$f(X_{t})=f(x)+\int _{0}^{t}Af(X_{s})\,\mathrm {d} s+\int _{0}^{t}\nabla f(X_{s})^{\top }\sigma (X_{s})\,\mathrm {d} B_{s}.$

Já que as integrais de Itō são martingales no que diz respeito à filtração natural $F_{*}$ de $(\Omega ,\Sigma )$ por $B$, para $t>s$,

$\mathbf {E} ^{x}{\big [}M_{t}{\big |}\Sigma _{s}{\big ]}=M_{s}.$

Assim, como exigido,

$\mathbf {E} ^{x}[M_{t}|F_{s}]=\mathbf {E} ^{x}\left[\mathbf {E} ^{x}{\big [}M_{t}{\big |}\Sigma _{s}{\big ]}{\big |}F_{s}\right]=\mathbf {E} ^{x}{\big [}M_{s}{\big |}F_{s}{\big ]}=M_{s},$

já que $M_{s}$ é $F_{s}$-mensurável.

Fórmula de Dynkin

Ver artigo principal: Fórmula de Dynkin

A fórmula de Dynkin, que recebe este nome em homenagem ao matemático russo-americano Eugene Dynkin, dá o valor esperado de qualquer estatística adequadamente suave de uma difusão de Itō $X$ (com gerador $A$) em um tempo de parada. Precisamente, se $\tau$ for um tempo de parada com $\mathbf {E} [\tau ]<+\infty$ e se $f:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R}$ for $C^{2}$ com suporte compacto, então:

$\mathbf {E} ^{x}[f(X_{\tau })]=f(x)+\mathbf {E} ^{x}\left[\int _{0}^{\tau }Af(X_{s})\,\mathrm {d} s\right].$

A fórmula de Dynkin pode ser usada para calcular muitas estatísticas úteis de tempos de parada. Por exemplo, o movimento browniano canônico na reta real começando em 0 sai do intervalo $(-R,+R)$ em um tempo aleatório $\tau _{R}$ com valor esperado:

$\mathbf {E} ^{0}[\tau _{R}]=R^{2}.$

A fórmula de Dynkin oferece informação sobre o comportamento de $X$ em um tempo de parada razoavelmente geral. Para mais informações sobre a distribuição de $X$ em um tempo de chegada, pode-se estudar a medida harmônica do processo.

Medidas associadas

Medida harmônica

Em muitas situações, é suficiente saber quando uma difusão de Itō $X$ deixará pela primeira vez um conjunto mensurável $H\subseteq \mathbb {R} ^{n}$, isto é, estudar o primeiro tempo de saída:

$\tau _{H}(\omega )=\inf\{t\geq 0|X_{t}\not \in H\}.$

Algumas vezes, entretanto, pode-se querer saber a distribuição dos pontos nos quais $X$ deixa o conjunto. Por exemplo, o movimento browniano canônico $B$ na reta real começando em 0 deixa o intervalo $(-1,1)$ em -1 com probabilidade $1/2$ e em 1 com probabilidade $1/2$, de modo que $B_{\tau _{(-1,1)}}$ é uniformemente distribuído no conjunto $\{-1,1\}$ Em geral, se $G$ for compactamente encaixado em $\mathbb {R} ^{n}$, então, a medida harmônica (ou distribuição de chegada) de $X$ na fronteira $\partial G$ de $G$ é a medida $\mu _{G}^{x}$ definida por:

$\mu _{G}^{x}(F)=\mathbf {P} ^{x}\left[X_{\tau _{G}}\in F\right]$

para $x\in G$ e $F\subseteq \partial G$.

Retornando ao exemplo anterior do movimento browniano, pode-se mostrar que, se $B$ for um movimento browniano em $\mathbb {R} ^{n}$ começando em $x\in \mathbb {R} ^{n}$ e $D\subset \mathbb {R} ^{n}$ for uma bola aberta centrada em $x$, então, a medida harmônica de $B$ em $\partial D$ é invariante sob todas as rotações de $D$ sobre $x$ e coincide com a medida de superfície normalizada em $\partial D$.

A medida harmônica satisfaz uma interessante propriedade de valor médio: se $f:\mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R}$ for qualquer função limitada e mensurável de Borel e $\varphi$ for dado por:

$\varphi (x)=\mathbf {E} ^{x}\left[f(X_{\tau _{H}})\right],$

então, para todos os conjuntos de Borel $G\subset \subset H$ e todo $x\in G$,

$\varphi (x)=\int _{\partial G}\varphi (y)\,\mathrm {d} \mu _{G}^{x}(y).$

A propriedade de valor médio é muito útil na solução de equações diferenciais parciais usando processos estocásticos.

Medida de Green e fórmula de Green

Considere $A$ um operador diferencial parcial em um domínio $D\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ e considere $X$ uma difusão de Itō com $A$ como seu gerador. Intuitivamente, a medida de Green de um conjunto de Borel $H$ é o comprimento esperado do tempo em que $X$ permanece em $H$ antes de deixar o domínio $D$. Em outras palavras, a medida de Green de $X$ no que diz respeito a $D$ em $x$, denotada $G(x,\cdot )$, é definida para conjuntos de Borel $H\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ por:

$G(x,H)=\mathbf {E} ^{x}\left[\int _{0}^{\tau _{D}}\chi _{H}(X_{s})\,\mathrm {d} s\right],$

ou para funções limitadas, contínuas $f:D\rightarrow \mathbb {R}$, por:

$\int _{D}f(y)\,G(x,\mathrm {d} y)=\mathbf {E} ^{x}\left[\int _{0}^{\tau _{D}}f(X_{s})\,\mathrm {d} s\right].$

A nome "medida de Green" vem do fato de que, se $X$ for um movimento browniano, então:

$G(x,H)=\int _{H}G(x,y)\,\mathrm {d} y,$

em que $G(x,y)$ é a função de Green para o operador $\Delta /2$ no domínio $D$. Suponha que $\mathbf {E} ^{x}[\tau _{D}]<+\infty$ para todo $x\in D$. Então, a fórmula de Green se aplica para toda $f\in C^{2}(\mathbb {R} ^{2};\mathbb {R} )$ com suporte compacto:

$f(x)=\mathbf {E} ^{x}\left[f\left(X_{\tau _{D}}\right)\right]-\int _{D}Af(y)\,G(x,\mathrm {d} y).$

Em particular, se o suporte de $f$ for compactamente encaixado em $D$,

$f(x)=-\int _{D}Af(y)\,G(x,\mathrm {d} y).$