Equação de Lane-Emden

Em astrofísica, a equação de Lane-Emden é uma equação diferencial ordinária que modeliza a estrutura interna de um sistema termodinâmico descrito pela equação de estado de um fluido politrópico auto-gravitante, ou seja, sujeito somente a influência de sua própria massa. A equação é obtida a partir da hipótese adicional de simetria esférica, que exclui as situações em que os sistemas possuem movimento de rotação.

A equação de Lane-Emden é um modelo para descrever a densidade e a pressão no interior das anãs brancas.

Essa equação determina o perfil de pressão, densidade e temperatura em alguns casos de interesse físico, como o gás ideal e o gás degenerado de férmions à temperatura nula nas situações não-relativística e ultra-relativística. Esses modelos permitem uma descrição simples de anãs brancas e outros astros compactos, nos quais a pressão de degenerescência tem um papel importante.

A equação de Lane-Emden recebe o seu nome em homenagem aos astrofísicos Jonathan Lane e Robert Emden, sendo Lane quem primeiro propôs esta equação em 1870. Lord Kelvin e A. Ritter fizeram contribuições importantes ao estudo dessa equação no século XIX, assim como Ralph H. Fowler e Subrahmanyan Chandrasekhar nos anos 1930.

Apresentação

Em 1869, Lane publicou pela primeira vez esta equação com o objetivo de estimar a temperatura da superfície solar. De fato, a zona de convecção de um estrela pode ser considerada em equilíbrio convectivo e modelada pela equação de Lane-Emden.

A equação diferencial de Lane-Emden é dada por:

• ${\frac {1}{\zeta ^{2}}}{\frac {d}{d\zeta }}\left({\zeta ^{2}{\frac {d\theta }{d\zeta }}}\right)+\theta ^{n}=0$

onde $\zeta \,$ é o raio reescalonado:

$\zeta =r\left({\frac {4\pi G\rho _{c}^{2}}{(n+1)P_{c}}}\right)^{\frac {1}{2}}$

e a densidade $\rho \,$ é dada como.

$\rho =\rho _{c}\theta ^{n}\,$

os subescritos "c" referem-se aos valores de referência da adimensionalização e são normalmente escolhidos os valores encontrados no centro do politropo. A condição de simetria esférica implica necessariamente que a derivada é nula em $r=0\,$:

• ${\frac {d\theta }{dr}}=0\,$

O valor de $\theta \,$ em $r=0\,$, pode ser obtido a partir do valor da densidade:

$\theta (0)=\left(\rho (0)/\rho _{c}\right)^{1/n}\,$ é dado

No caso mais comum em que escolhe-se $\rho _{c}=\rho (0)\,$, temos:

• $\theta (0)=1\,$

Contexto físico

No equilíbrio, o efeito do gradiente de pressão e do campo gravitacional se anulam.

Em um fluido politrópico, a pressão P está relacionada com a densidade $\rho \,$ por uma equação de estado da forma:

$P=C\rho ^{\gamma }\quad (1)\,$,

onde C é uma constante e $\gamma \,$ é um número não inferior a 1 chamado de constante adiabática. A constante adiabática se relaciona com índice do politropo pela relação:

$\gamma =1+{\frac {1}{n}}\,$.

O fluido está submetido à força gerada pelo seu próprio campo gravitacional. Esta força é radial e aponta para o centro da estrutura. A magnitude da força gravitacional é denotada pela letra g é considerada uma função da distância ao centro r:

$g=g(r)\,$

do teorema das cascas esféricas a força gravitacional dentro de uma estrutura com simetria esférica é dado pela expressão:

$g(r)={\frac {G}{r^{2}}}M(r)\quad (2)\,$

onde $M(r)\,$ é massa total contida até a distância r do centro:

$M(r)=4\pi \int _{o}^{r}s^{2}\rho (s)ds\quad (3)\,$

aqui $\rho (s)\,$ é densidade do fluido à distância s do centro.

Como o fluido está em equilíbrio hidrostático, vale a equação de Poisson:

$\nabla P=\rho g\quad (4)\,$

Derivação da equação de Lane-Emden

Da simetria esférica e da relação (1), a equação (4) reduz a:

$C\gamma \rho ^{\gamma -1}{\frac {d\rho }{dr}}=\rho g\quad (5)\,$

Usando o valor de M(R) dado por (3) em (2) e substituindo esta expressão para a densidade em (5)

$C\gamma \rho ^{\gamma -1}{\frac {d\rho }{dr}}=4\pi \rho {\frac {G}{r^{2}}}\int _{o}^{r}s^{2}\rho (s)ds\,$

ou, equivalentemente:

$C\gamma r^{2}\rho ^{\gamma -2}{\frac {d\rho }{dr}}=4\pi G\int _{o}^{r}s^{2}\rho (s)ds\quad (6)\,$

Esta é uma equação íntegro-diferencial para a densidade $\rho \,$ em função de $r\,$. Diferenciando ambos os lados da equação por $r\,$, obtemos uma equação diferencial ordinária de segunda ordem:

${\frac {d}{dr}}\left[C\gamma r^{2}\rho ^{\gamma -2}{\frac {d\rho }{dr}}\right]=4\pi Gr^{2}\rho \,$

A ideia agora é introduzir a seguinte mudança de variáveis:

$\rho =\rho _{c}\theta ^{n}\quad \gamma =1+1/n\,$

${\frac {d}{dr}}\left[C(n+1)\rho _{c}^{\gamma -1}r^{2}{\frac {d\theta }{dr}}\right]=4\pi Gr^{2}\rho _{c}\theta ^{n}\,$

ou, equivalentemente:

${\frac {1}{r^{2}}}{\frac {d}{dr}}\left[r^{2}{\frac {d\theta }{dr}}\right]={\frac {4\pi G\rho _{c}^{2-\gamma }}{C(n+1)}}\theta ^{n}\,$

A equação de estado (1) sugere definir $P_{c}:=C\rho _{c}^{\gamma }\,$, de forma que:

${\frac {P}{P_{c}}}=\left({\frac {\rho }{\rho _{c}}}\right)^{\gamma }\,$

e assim, obtemos:

${\frac {1}{r^{2}}}{\frac {d}{dr}}\left[r^{2}{\frac {d\theta }{dr}}\right]={\frac {4\pi G\rho _{c}^{2}}{(n+1)P_{c}}}\theta ^{n}\,$

E conclui-se o desenvolvimento, introduzindo uma nova mudança de variáveis, rescalonando o raio:

$\zeta =r\left({\frac {4\pi G\rho _{c}^{2}}{(n+1)P_{c}}}\right)^{\frac {1}{2}}$

Soluções da equação

Soluções da Equação de Lane-Emden para n=0, 1, 2, 3, 4, 5, 6.

A equação pode ser resolvida analiticamente quando n = 0, 1 or 5:

n =	0	1	5
$\theta$ =	$1-{\frac {\zeta ^{2}}{6}}$	${\frac {\sin \zeta }{\zeta }}$	$\left(1+{\frac {\zeta ^{2}}{3}}\right)^{-{\frac {1}{2}}}$
ζ0 =	${\sqrt {6}}$	$\pi$	∞

Aqui, ζ₀ indica o primeiro zero da solução.

Caso n = 0

O caso $n=0\,$ descreve um politropo em que a densidade é uniforme (isocórico). O problema neste caso é linear e é dado por:

$\left\{{\begin{array}{ll}{\frac {1}{\zeta ^{2}}}{\frac {d}{d\zeta }}\left({\zeta ^{2}{\frac {d\theta }{d\zeta }}}\right)+1=0,~~&\zeta >0\\\theta =1,~~~~{\frac {d\theta }{d\zeta }}=0,~~&\zeta =0\end{array}}\right.$

É fácil ver que a solução geral da equação é dada por:

$\theta =-{\frac {\zeta ^{2}}{6}}+{\frac {C_{1}}{\zeta }}+C_{2}\,$

a condição de a solução estar definida na origem implica $C_{1}=0\,$ e a condição $\theta (0)\,$ implica $C_{2}=1\,$. A solução é, portanto, dado por:

$\theta =1-{\frac {\zeta ^{2}}{6}}\,$, cuja derivada vale:

${\frac {d\theta }{d\zeta }}=-{\frac {\zeta }{3}}\,$, que, de fato, se anula na origem.

Caso n = 1

No caso $n=1\,$, o problema é novamente linear e recai numa equação de Bessel esférica de índice 0:

A solução geral desta equação é dada por:

$\theta =C_{1}{\frac {\cos \zeta }{\zeta }}+C_{2}{\frac {\sin \zeta }{\zeta }}\,$

Da mesma forma, como foi feito para o caso $n=0\,$, $C_{1}=0\,$ e $C_{2}=0\,$, observando que:

$\lim _{\zeta \to 0}{\frac {\sin \zeta }{\zeta }}=1\,$ e, portanto, a solução é dada por:

$\theta ={\frac {\sin \zeta }{\zeta }}\,$ cuja derivada vale:

${\frac {d\theta }{d\zeta }}={\frac {\zeta \cos \zeta -\sin \zeta }{\zeta ^{2}}}\,$ cujo limite quando $\zeta \to 0\,$ é nulo.

Soluções singulares

Quando se desconsideram as condições iniciais, a equação de Lane-Emden possui soluções singulares na origem para todo $n>3\,$, ou seja, $\gamma <4/3\,$ da seguinte forma:

$\theta ={\frac {X}{\zeta ^{p}}}$,

onde

$X=\left({\frac {2(n-3)}{(n-1)^{2}}}\right)^{\frac {1}{n-1}}$

$p={\frac {2}{n-1}}$.

Transformações da Equação de Lane-Emden

• Substituindo $\theta ={\frac {\chi }{\zeta }}\,$, a equação reduz à

${\frac {d^{2}\chi }{d\zeta ^{2}}}=-{\frac {\chi ^{n}}{\zeta ^{n-1}}}\,$

• Substituindo $x={\frac {1}{\zeta }}\,$ (transformação de Kelvin), a equação se transforma em:

$x^{4}{\frac {d^{2}\theta }{dx^{2}}}=-\theta ^{n}\,$

• As transformações de Emden consistem em fazer a seguinte mudança de variáveis:

$\theta =Ax^{p}z,\quad p={\frac {2}{n-1}}\,$

que satisfaz a seguinte relação:

${\frac {d^{2}\theta }{dx^{2}}}=A\left[x^{p}{\frac {d^{2}z}{dx^{2}}}+2px^{p-1}{\frac {dz}{dx}}+p(p-1)x^{p-2}z\right]\,$

Esta mudança aplicada à equação na forma dada pela transformação de Kelvin, conduz a:

$x^{2}{\frac {d^{2}z}{dx^{2}}}+2px{\frac {dz}{dx}}+p(p-1)z+A^{n-1}z^{n}=0\,$

Este equação pode ser simplificada ainda mais pela introdução de mais uma nova variável:

$x={\frac {1}{\zeta }}=e^{t}\quad t=\log x=-\log \zeta \,$

que reduz a última equação a:

${\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}+(2p-1){\frac {dz}{dt}}+p(p-1)z+A^{n-1}z^{n}=0\,$

Expansão em séries de Taylor

Pode-se encontrar uma expressão para a solução da Equação de Lane-Emden em torno de $r=0\,$ através do método de Frobenius, que consiste em expandir a solução em série de Taylor:

$\theta (\zeta )=\sum _{i}^{\infty }a_{i}\zeta ^{i}\,$

As condições iniciais implicam diretamente:

$a_{0}=1\quad a_{1}=0\,$

os outros coeficientes devem ser obtidos substituindo a série de $\theta \,$ na equação. Este procedimento resulta em:

$\theta (\zeta )=1-{\frac {1}{6}}\zeta ^{2}+{\frac {n}{120}}\zeta ^{4}+\left({\frac {n}{3024}}-{\frac {n^{2}}{1890}}\right)\zeta ^{6}+\left({\frac {n}{46656}}-{\frac {61n^{2}}{1088640}}+{\frac {61n^{3}}{1632960}}\right)\zeta ^{8}+O(\zeta ^{10})\,$

Referências

• «Artigo no Mathworld sobre a Equação de Lane-Emden» (em inglês) 
• (em inglês) Horedt, George Paul ( 1986 ) 5.9MB  PDF, Astrophysics and Space Science vol. 126, no. 2, Oct. 1986, p. 357-408. ( ISSN 0004-640X ). Collected at the Smithsonian/NASA Astrophysical Data System.
• (em inglês) Subrahmanyan Chandrasekhar, An Introduction to the Study of Stellar Structure, 1939, Dover Publications, Inc