Politropo

Em astrofísica, a politropio refere-se a uma solução da equação de Lane-Emden na qual a pressão depende da densidade na forma $P=K\rho ^{(n+1)/n}=K\rho ^{1+1/n},$ onde $P$ é pressão, $ρ$ é densidade e $K$ é uma constante de proporcionalidade.^[1] A constante $n$ é conhecida como índice politrópico; note, no entanto, que o índice politrópico tem uma definição alternativa com n como expoente.

A densidade normalizada em função do comprimento da escala para uma ampla gama de índices politrópicos

Esta relação não precisa ser interpretada como uma equação de estado, a qual estabelece P como uma função tanto de ρ e T (a temperatura); entretanto, no caso particular descrito pela equação politrópica, existem outras relações adicionais entre essas três grandezas, que juntas determinam a equação. Assim, esta é simplesmente uma relação que expressa uma suposição sobre a mudança de pressão com raio em termos da mudança de densidade com raio, produzindo uma solução para a equação de Lane–Emden.

Às vezes, a palavra politrópio pode se referir a uma equação de estado que se parece com a relação termodinâmica acima, embora isso seja potencialmente confuso e deva ser evitado. É preferível referir-se ao próprio fluido (em oposição à solução da equação de Lane–Emden) como um fluido politrópico. A equação de estado de um fluido politrópico é geral o suficiente para que tais fluidos idealizados sejam amplamente utilizados fora do problema limitado dos politrópicos.

O expoente politrópico (de um politropo) demonstrou ser equivalente à pressão derivada do módulo volumétrico^[2] onde sua relação com a equação de estado de Murnaghan também foi demonstrada. A relação politrópica é, portanto, mais adequada para pressões relativamente baixas (abaixo de 10⁷ Pa) e alta pressão (acima de 10¹⁴ Pa), condições em que a derivada de pressão do módulo volumétrico, que é equivalente ao índice politrópico, é quase constante.

Exemplos de modelos por índice politrópico

Densidade (normalizada para densidade média) versus raio (normalizado para raio externo) para um politrópio com índice n=3.

Um índice politropo $n = 0$ é frequentemente usado para modelar planetas rochosos. A razão é que politropo $n = 0$ tem densidade constante, i.e., interior incompressível. Esta é uma aproximação de ordem zero para planetas rochosos (sólidos/líquidos).
Estrelas de nêutrons são bem modelados por politropos com índice entre $n = 0.5$ e $n = 1$ .
Um politropo com índice $n = 1.5$ é um bom modelo para núcleos estelares totalmente convectivos^[3]^[4] (como aqueles de gigantes vermelhas), anãs marrons, planetas gasosos gigantes (como Júpiter). Com este índice, o expoente politrópico é 5/3, que é a razão de capacidade térmica (γ) para gás monoatômico. Para o interior de estrelas gasosas (consistindo em hidrogênio ou hélio ionizado), isso segue de uma aproximação de gás ideal para condições de convecção natural.
Um politropo com índice $n = 1.5$ também é um bom modelo para anãs brancas de baixa massa, de acordo com a equação de estado de matéria degenerada relativística.^[5]
Um politropo com índice $n = 3$ é um bom modelo para núcleos de anãs brancas de massas mais altas, de acordo com a equação de estado de matéria degenerada relativística.^[5]
Um politropo com índice $n = 3$ geralmente também é usado para modelar estrelas da sequência principal como é o Sol, pelo menos na zona de radiação, correspondente ao modelo padrão de Eddington de estrutura estelar.^[6]
Um politropo com índice $n = 5$ tem um raio infinito. Corresponde ao modelo plausível mais simples de um sistema estelar autoconsistente, estudado pela primeira vez por Arthur Schuster em 1883, e tem uma solução exata.
Um politropo com índice $n = \infty$ corresponde ao que é chamado uma esfera isotérmica, que é uma esfera de gás isotérmica autogravitante, cuja estrutura é idêntica à estrutura de um sistema de estrelas sem colisões como um aglomerado globular. Isso ocorre porque, para um gás ideal, a temperatura é proporcional a ρ^1/n, então infinitos n correspondem a uma temperatura constante.

Em geral, à medida que o índice politrópico aumenta, a distribuição da densidade é mais fortemente ponderada em direção ao centro ( $r = 0$ ) do corpo.

Ver também

Referências

↑ Horedt, G. P. (2004). Polytropes. Applications in Astrophysics and Related Fields. [S.l.]: Dordrecht: Kluwer. ISBN 1-4020-2350-2
↑ Weppner, S. P.; McKelvey, J. P.; Thielen, K. D.; Zielinski, A. K. (Sept. 2015). «A variable polytrope index applied to planet and material models». Oxford University Press. Monthly Notices of the Royal Astronomical Society. 452 (2): 1375–1393. arXiv:https://arxiv.org/abs/1409.5525 Verifique |arxiv= (ajuda) Verifique data em: |data= (ajuda)
↑ S. Chandrasekhar [1939] (1958). An Introduction to the Study of Stellar Structure, New York: Dover. ISBN 0-486-60413-6
↑ C. J. Hansen, S. D. Kawaler, V. Trimble (2004). Stellar Interiors – Physical Principles, Structure, and Evolution, New York: Springer. ISBN 0-387-20089-4
↑ ^a ^b Sagert, I., Hempel, M., Greiner, C., Schaffner-Bielich, J. (2006). Compact stars for undergraduates. European journal of physics, 27(3), 577.
↑ O. R. Pols (2011), Stellar Structure and Evolution, Astronomical Institute Utrecht, September 2011, pp. 64-68

[1] Horedt, G. P. (2004). Polytropes. Applications in Astrophysics and Related Fields. [S.l.]: Dordrecht: Kluwer. ISBN 1-4020-2350-2

[mnras-2] Weppner, S. P.; McKelvey, J. P.; Thielen, K. D.; Zielinski, A. K. (Sept. 2015). «A variable polytrope index applied to planet and material models». Oxford University Press. Monthly Notices of the Royal Astronomical Society. 452 (2): 1375–1393. arXiv:https://arxiv.org/abs/1409.5525 Verifique |arxiv= (ajuda) Verifique data em: |data= (ajuda)

[3] S. Chandrasekhar [1939] (1958). An Introduction to the Study of Stellar Structure, New York: Dover. ISBN 0-486-60413-6

[4] C. J. Hansen, S. D. Kawaler, V. Trimble (2004). Stellar Interiors – Physical Principles, Structure, and Evolution, New York: Springer. ISBN 0-387-20089-4

[Sagert2006-5] Sagert, I., Hempel, M., Greiner, C., Schaffner-Bielich, J. (2006). Compact stars for undergraduates. European journal of physics, 27(3), 577.

[6] O. R. Pols (2011), Stellar Structure and Evolution, Astronomical Institute Utrecht, September 2011, pp. 64-68

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