Grupo de renormalização

Numa teoria quântica de campos, a regularização de divergências e a renormalização são geralmente vistas apenas como técnicas para tornar funções de correlações finitas. Contudo, elas possuem um significado físico muito profundo e mais importante: a descrição de teorias quânticas de campos mudam conforme a escala de energia. Essa ideia foi introduzida por Kenneth Wilson e é quantificada pelas equações do grupo de renormalização.

Grupo de renormalização no espaço de momentos

Suponha uma teoria quântica de campos com campos $\phi (x)$ e constantes de acoplamento $g$ descrita pela ação clássica $S(\phi ,g)$. Vamos considerar a expansão em modos de Fourier de $\phi (x)$

$\phi (x)=\int dk\;e^{ikx}\;{\hat {\phi }}(k)$

Usualmente, a integral é sobre todas as frequências $0\leq |k|\leq \infty$. Neste caso, várias funções de correlação podem não ser bem definidas. Uma forma de regularizar a teoria é introduzir uma frequência de corte ultravioleta $\Lambda _{UV}$. Isto é, limitamos a integral ao disco

$|k|\leq \Lambda _{UV}$

Chamaremos esse campos de $\phi _{0}(x)$ e diremos que ele é o campo na escala $\Lambda _{UV}$. Então

$\phi _{0}(x)=\int _{0\leq |k|\leq \Lambda _{UV}}dk\;e^{ikx}\;{\hat {\phi }}(k)$

Também chamaremos a constante de acoplamento de $g_{0}$. A função partição sobre os campos $\phi _{0}(x)$ é

$Z=\int {\mathcal {D}}\phi _{0}\;e^{-S(\phi _{0},g_{0})}$

Já que alguns dos modos de Fourier estão faltando, o campo $\phi _{0}(x)$ é praticamente constante em distâncias menores que $\Delta x\simeq 1/\Lambda _{UV}$. Então, introduzir uma frequência de corte ultravioleta é o mesmo que introduzir um corte em pequenas distâncias. É óbvio que a introdução desse limite quebra a simetria de Poincaré. Eventualmente, vamos tomar o limite do contínuo $1/\Lambda _{UV}\rightarrow 0$, onde a simetria de Poincaré é recuperada. A questão de renormalizabilidade é se podemos fazer isso mantendo as quantidades físicas numa escala de energia finita $\mu$ regulares.

Vamos decompor a região de integração da expansão em modos em duas partes:

$0\leq |k|\leq \mu$ e $\mu \leq |k|\leq \Lambda _{UV}$

Chamaremos as expansões em modos correspondentes por

$\phi _{B}(x)=\int _{0\leq |k|\leq \mu }dk\;e^{ikx}\;{\hat {\phi }}(k)$

$\phi _{A}(x)=\int _{\mu \leq |k|\leq \Lambda _{UV}}dk\;e^{ikx}\;{\hat {\phi }}(k)$

onde B e A referem-se a Baixas e Altas energias. Nós gostaríamos de estudar o comportamento da teoria em energias menores que $\mu$, por exemplo, amplitudes de espalhamento de partículas com momentos $\leq \mu$. O que procuramos então é uma ação que descreva esses efeitos somente em termos de $\phi _{B}(x)$. Ela pode ser obtida integrando sobre $\phi _{A}(x)$ na integral de trajetória, mantendo $\phi _{B}(x)$ variável

$e^{-S_{eff}(\phi _{A},g_{0})}=\int {\mathcal {D}}\phi _{A}\;e^{-S(\phi _{B}+\phi _{A},g_{0})}$

Isso é chamado teoria de campos efetiva na energia $\mu$. Por vezes, quando tomamos o limite para o contínuo $\Lambda _{UV}/\mu \rightarrow \infty$, a expressão para a ação fica divergente e isso é a indicação que precisamos mudar a descrição da teoria em baixas energias. Nos casos mais drásticos, precisamos encontrar um novo conjunto completamente novo de campos e simetrias para descrever a teoria. Contudo, em muitos casos, a mudança de variáveis e parâmetros têm a forma:

$g_{0}=g_{0}(g,{\frac {\Lambda _{UV}}{\mu }})$

$\phi _{0}(x)=Z(g,{\frac {\Lambda _{UV}}{\mu }})\phi (x)+\phi _{A}(x)$

Aqui, $\phi (x)$ e $g$ são os novos campos, em termos dos quais a ação efetiva

$e^{-S_{eff}(\phi ,g,\mu )}=\int {\mathcal {D}}\phi _{A}\;e^{-S(\phi _{0},g_{0})}$

é regular no limite para o contínuo. Os campos $\phi _{0}(x)$ e as contantes $g_{0}$ na escala de corte $\Lambda _{UV}$ são chamados de campos nus e constantes de acoplamentos nuas, enquanto $\phi (x)$ e $g$ são ditas renormalizados.

Equação de Callan-Symanzik

Se pode olhar para essa mudança de campos e constantes de duas formas. Uma forma de ver é fixar $\mu$ e variar $\Lambda _{UV}$. Nós fixamos os campos $\phi (x)$ e constantes de acoplamento $g$ numa escala $\mu$ (com os valores medidos nessa escala) e mudamos os campos nus $\phi _{0}(x)$ e as contantes nuas $g_{0}$. Se pudermos mover $\Lambda _{UV}$ para o infinito sem mudar o comportamento do sistema na energia $\mu$ (descrito por $\phi (x)$ e $g$), então, nesse limite, obtemos uma teoria quântica de campos com simetria de Poincaré.

Uma outra forma de ver é mover $\mu$, fixando $\Lambda _{UV}$ e consequentemente $\phi _{0}(x)$ e $g_{0}$. Desta forma, o campo renormalizado e a constante de acoplamento renormalizada é que mudam com a escala. Essa constante é dita constante de acoplamento corredora. Em particular, se mudamos a escala de $\mu _{1}$ para $\mu _{2}$, as constantes de acoplamento mudarão de $g_{1}=(g_{0},{\frac {\mu _{1}}{\Lambda _{UV}}})$ para $g_{2}=g(g_{0},{\frac {\mu _{2}}{\Lambda _{UV}}})$, onde $g(g_{0},{\frac {\mu }{\Lambda _{UV}}})$ é a inversa da função definida anteriormente. Com efeito, definindo um campo com contribuições dos modos de Fourier entre $\mu _{1}\leq |k|\leq \mu _{2}$, podemos repetir o raciocínio e escrever $g_{2}=g(g_{1},{\frac {\mu _{2}}{\mu _{1}}})$. Desta forma, uma mudança de escala induz uma mudança das contantes de acoplamento através do campo vetorial

$\beta (g)=\mu {\frac {d}{d\mu }}g(g_{1},{\frac {\mu }{\mu _{1}}})|_{g_{1}=g,\mu _{1}=\mu }$

Essa equação é chamada de equação de Callan-Symanzik e o campo vetorial $\beta (g)$ é chamado função beta da constante de acoplamento $g$.