Integração por partes

No cálculo integral, integração por partes é um método que permite expressar a integral de um produto de funções em outra integral. A integração por partes pode ser vista como uma versão integrada da regra do produto.

A fórmula típica é a seguinte:

$\int _{a}^{b}f(x)g'(x)\,\mathrm {d} x={\Bigl [}f(x)g(x){\Bigr ]}_{a}^{b}-\int _{a}^{b}f'(x)g(x)\,\mathrm {d} x$

onde $f(x)\,$ e $g(x)\,$ são funções de classe C¹ no intervalo $x\in [a,b]\,$, ou seja, são diferenciáveis e suas derivadas são contínuas entre a e b. Ou, ainda, de forma mais enxuta:

$\int u\,\mathrm {d} v=uv-\int v\,\mathrm {d} u$

onde $u\,=f(x)$, $dv\,=g'(x)dx$, $v\,=g(x)$ e $du\,=f'(x)dx$.

Exemplos

Algumas antiderivadas podem ser obtidas via integração por partes. Vejamos alguns exemplos:

• $\int xe^{x}dx=xe^{x}-\int e^{x}dx=(x-1)e^{x}\,$ + C

onde escolheu-se $u(x)=x\,$ e $dv=e^{x}dx\,$.

• $\int _{1}^{2}x\ln(x)dx=\left[{\frac {x^{2}}{2}}\ln(x)\right]_{1}^{2}-{\frac {1}{2}}\int _{1}^{2}xdx\,$

escolhendo ${\textstyle u=\ln(x)}$ e ${\textstyle dv=x\,dx}$.

Demonstração

Pela regra do produto, temos que:

${d \over dx}[u(x)*v(x)]=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)$

Integrando dos dois lados em dx, ficamos com:

$u(x)*v(x)=\int u'(x)*v(x)dx+\int u(x)*v'(x)dx$

Abrindo o u'(x) e v'(x):

$u(x)*v(x)=\int v(x){du \over dx}dx+\int u(x)*{dv \over dx}dx$

Simplificando as integrais, ficamos com:

$u(x)*v(x)=\int v(x)du+\int u(x)dv$

Conclui-se que:

$u(x)*v(x)-\int v(x)du=\int u(x)dv$

Ver também

• Identidades de green
• Métodos de integração
• Somatório por partes
• Tabela de integrais

Bibliografia

• Ávila, Geraldo Severo de Souza. Introdução à análise matemática. 2^aedição. São Paulo: Edgard Blucher, 1999.

• Rudin, Walter. Principles of mathematical analysis. 3^aedição. Auckland: Mcgraw-Hill, 1976.