Métodos de integração

No cálculo integral, os métodos ou técnicas de integração são procedimentos analíticos utilizados para encontrar antiderivadas de funções. Algumas das técnicas mais conhecidas são as de integração por substituição, partes, e frações parciais.

Integração por substituição

Considere a seguinte integral:

$\int f(g(x))g'(x)dx$

A técnica de integração por substituição consiste em aplicar a mudança de variáveis $u=g(x)$. Desta forma, $du=g'(x)dx$ o que, substituindo na integral acima, fornece:

$\int f(u)du$

Esta técnica é consequência da regra da cadeia para derivadas.

Exemplo

Considere-os:

$\int {\frac {2x}{x^{2}+5}}\,dx$

Tomando $u=x^{2}+5$, temos $du=2x\,dx$. Segue que:

$\int {\frac {2x}{x^{2}+5}}\,dx=\int {\frac {du}{u}}=\ln |u|+C=\ln |x^{2}+5|+C$.

Integração por partes

Ver artigo principal: Integração por partes

A técnica de integração por partes é uma consequência da regra do produto para derivadas. Ela estabelece que:

$\int u(x)\,dv=u(x)v(x)-\int v(x)\,du$.

Para integrais definidas, a fórmula análoga é:

$\int _{a}^{b}u(x)v'(x)\,\mathrm {d} x={\Bigl [}u(x)v(x){\Bigr ]}_{a}^{b}-\int _{a}^{b}u'(x)v(x)\,\mathrm {d} x$

Exemplo

Considere a integral definida:

$\int _{1}^{2}x\ln(x)\,\mathrm {d} x$.

Tomando:

${\begin{aligned}u=\ln(x)&\Rightarrow du={\frac {1}{x}}dx\\dv=xdx&\Rightarrow v={\frac {x^{2}}{2}}+C\end{aligned}}$

Seque, da integração por partes que:

$\int _{1}^{2}x\ln(x)\,\mathrm {d} x=\left[{\frac {x^{2}}{2}}\ln(x)\right]_{1}^{2}-{\frac {1}{2}}\int _{1}^{2}x\,\mathrm {d} x=2\ln(2)-{\frac {3}{4}}$.

Substituições trigonométricas

As substituições trigonométricas são muitas vezes úteis para calcular integrais contendo expressões da forma ${\sqrt {a^{2}-x^{2}}}$, ${\sqrt {a^{2}+x^{2}}}$, ou ${\sqrt {x^{2}-a^{2}}}$. Nestes casos, as substituições sugeridas são:

Expressão	Substituição	Elemento infenitesimal	Expressão resultante
${\sqrt {a^{2}-x^{2}}}$	$x=a{\text{sen }}u$	$dx=a\cos u\,du$	${\sqrt {a^{2}-x^{2}}}=a\cos u$
${\sqrt {a^{2}+x^{2}}}$	$x=a{\text{tg }}u$	$dx=a\sec ^{2}u\,du$	${\sqrt {a^{2}+x^{2}}}=a\sec u$
${\sqrt {x^{2}-a^{2}}}$	$x=a\sec u$	$dx=a\sec u{\text{tg }}u\,du$	${\sqrt {x^{2}-a^{2}}}=a{\text{tg }}u$

Exemplo

Considere a integral $\int {\sqrt {16-x^{2}}}dx$. Usando a substituição $x=4{\text{sen }}\theta$, obtem-se $dx=4\cos \theta \ d\theta$. Segue que:

${\begin{aligned}\int {\sqrt {16-x^{2}}}dx&=\int {\sqrt {16(1-{\text{sen}}^{2}\theta )}}4\cos \theta \ d\theta \\&=16\int \cos ^{2}\theta \ d\theta \end{aligned}}$.

A integral de cosseno ao quadrado pode ser calculada utilizando integração por partes, tomando:

$u=cos\theta$, $dv=cos\theta$,

temos:

${\begin{aligned}\int \cos ^{2}\theta \ d\theta &=\cos \theta {\text{sen }}\theta +\int {\text{sen}}^{2}\theta \ d\theta \\&=\cos \theta {\text{sen }}\theta +\int d\theta -\int \cos ^{2}\theta \ d\theta \end{aligned}}$

$\Rightarrow \int \cos ^{2}\theta \ d\theta ={\frac {\cos \theta {\text{sen }}\theta }{2}}+{\frac {\theta }{2}}$

Daí, segue que:

$\int {\sqrt {16-x^{2}}}dx=16\left({\frac {\cos \theta {\text{sen }}\theta }{2}}+{\frac {\theta }{2}}\right)$

Da substituição feita $x=4{\text{sen }}\theta$ concluímos que:

$\int {\sqrt {16-x^{2}}}dx={\frac {x{\sqrt {16-x^{2}}}}{2}}+8{\text{arc sen }}{\frac {x}{4}}+C$

onde, $C$ é uma constante indeterminada.

Integração por frações parciais

A técnica de frações parciais é utilizada para o cálculo de integrais de funções racionais. Considere:

$\int {\frac {P(x)}{Q(x)}}\,dx$

onde, $P(x)$ e $Q(x)$ são polinômios. Notamos que, por divisão de polinômios, encontrar polinômios $S(x)$ e $R(x)$ tais que:

${\frac {P(x)}{Q(x)}}=S(x)+{\frac {R(x)}{Q(x)}}$

sendo $R(x)$ um polinômio de grau menor que $Q(x)$. O método segue da fatoração de $Q(x)$ em polinômios irredutíveis, i.e. escrevemos:

$Q(x)=(a_{1}x+b_{1})^{l_{1}}\cdots (a_{n}x+b_{n})^{l_{n}}(c_{1}x^{2}+d_{1}x+e_{1})^{p_{1}}\cdots (c_{m}x^{2}+d_{m}x+e_{m})^{p_{m}}$.

Com isso, podemos encontrar constantes $A_{1,1},\ldots ,A_{n,l_{1}\cdots l_{n}}$, $B_{1,1},\ldots ,B_{m,p_{1}\cdots p_{n}}$ e $C_{1,1},\ldots ,C_{m,p_{1}\cdots p_{n}}$ tais que:

${\frac {R(x)}{Q(x)}}=\sum _{k=0}^{l_{1}-1}{\frac {A_{1,k}}{(a_{1}x+b_{1})^{l1-k}}}+\cdots +\sum _{k=0}^{l_{n}-1}{\frac {A_{n,k}}{(a_{n}x+b_{n})^{l_{n}-k}}}+\sum _{k=0}^{p_{1}-1}{\frac {B_{1,k}x+C_{1,k}}{(c_{1}x^{2}+d_{1}x+e_{1})^{p_{1}-k}}}+\cdots +\sum _{k=0}^{p_{m}-1}{\frac {B_{m,k}x+C_{m,k}}{(c_{m}x^{2}+d_{m}x+e_{m})^{p_{m}-k}}}$.

Em resumo, temos:

$\int {\frac {P(x)}{Q(x)}}\,dx=\int S(x)\,dx+\int {\frac {R(x)}{Q(x)}}\,dx$

que consiste na integração do polinômio $S(x)$ e de uma série de funções racionais das formas ${\frac {A}{(ax+b)^{l}}}$ ou ${\frac {Bx+C}{(cx^{2}+dx+e)^{p}}}$. As integrais destas, por sua vez, podem ser calculadas pelos métodos de integração discutidos acima.

Exemplo

Considere:

$\int {\frac {1}{x^{2}-5x}}\,dx$

Temos $Q(x)=x^{2}-5x=x(x-5)$, logo:

${\frac {1}{x^{2}-5x}}={\frac {A}{x}}+{\frac {B}{x-5}}$

donde encontramos que $1=A(x-5)+Bx$, i.e. $A=-1/5$ e $B=1/5$. Daí:

${\begin{aligned}\int {\frac {1}{x^{2}-5x}}\,dx&=-{\frac {1}{5}}\int {\frac {dx}{x}}+{\frac {1}{5}}\int {\frac {dx}{x-5}}&=-{\frac {1}{5}}\ln |x|+{\frac {1}{5}}\ln |x-5|+C&={\frac {1}{5}}\ln \left|{\frac {x-5}{x}}\right|+C\end{aligned}}$

Ver também

• Tabela de integrais