Mónade (teoria das categorias)

Na teoria das categorias, uma mónade, mônade ou mônada (ou tripla, nome porém menos usado^[1]) é um endofunctor, junto a duas transformações naturais, satisfazendo regras formalmente análogas às de um monoide. Aplicações do conceito incluem a determinação de equivalências com as categorias de álgebras sobre mônades, sendo centrais na álgebra universal,^[2] além do uso na ciência da computação como modelo conveniente para, por exemplo, a manipulação de estado global e o não determinismo.^[3]

Definição

Uma mônade numa categoria $C$ consiste de um functor $T : C \to C$ , uma transformação natural $η : 1 \Rightarrow T$ , chamada unidade, e uma transformação natural $μ : T 2 \Rightarrow T$ , chamada multiplicação, tais que os diagramas abaixo comutam:^[4]

Diagrama do elemento neutro	Diagrama da associatividade

Álgebra sobre mônada

Dada mônada $(T, η, μ)$ na categoria $C$ , uma $T$ -álgebra é uma dupla consistindo de objeto $x \in C$ e morfismo $h : T (x) \to x$ tais que os diagramas abaixo comutam:

Compatibilidade com a unidade	Compatibilidade com a multiplicação

Um morfismo $(x, h) \to (x', h')$ entre $T$ -álgebras é um morfismo $f : x \to x'$ em $C$ tal que o diagrama abaixo comuta:

Assim, as $T$ -álgebras formam uma categoria, chamada categoria de Eilenberg–Moore para $T$ , e denotada por $C T$ .^[5]^[6]

Exemplos

Toda adjunção (F, G, η, ε) : C ⇀ D determina uma mônade, com endofunctor T = G ∘ F : C → C, unidade η : 1 ⇒ T (isto é, a mesma que a unidade da adjunção) e multiplicação μ = GεF : T² ⇒ T. A seguir, exemplos de mônades provenientes de adjunções:
- A adjunção entre o functor livre ${\mathsf {Set}}\to {\mathsf {Mon}}$ e o functor "esquecidiço" ${\mathsf {Mon}}\to {\mathsf {Set}}$ , em que ${\mathsf {Mon}}$ denota a categoria de monoides, origina a mônade de lista (como chamada na ciência da computação), na qual
  $T(A)=\coprod _{n\in \{0,1,\ldots \}}A^{n}$ , isto é, o conjunto de sequências finitas de elementos de $A$ ,
  
  $\eta _{A}(a)=\iota _{1}(a)$ , a sequência de um elemento,
  
  e $\mu$ pode ser descrito por concatenação de sequências.
  - As $T$ -álgebras correspondem biunivocamente a monoides, de modo que o morfismo $T (A) \to A$ corresponde à família de funções $A n \to A$ , levando uma sequência $(a 1, \dots, a n)$ ao produto $a 1 \circ \dots \circ a n$ (que será a identidade se $n = 0$ ).
- Denotando-se ${\mathsf {Set}}_{\star }$ a categoria dos conjuntos com um dos elementos selecionado, chamado "base", e com morfismos as funções de conjuntos que levam uma base a outra base, há a adjunção entre $F:{\mathsf {Set}}\to {\mathsf {Set}}_{\star }$ e $G:{\mathsf {Set}}_{\star }\to {\mathsf {Set}}$ , onde $F(A)=(A\amalg \{\bullet \},\iota _{2}(\bullet ))$ (adiciona uma base) e $G(A,a)=A$ (esquece qual é a base). A mônade correspondente é chamada de mônade "talvez", na qual:
  $T(A)=T\amalg \{\bullet \}$ , uma união disjunta com um novo elemento,
  
  $\eta _{A}(a)=\iota _{1}(a)$ ,
  
  $\mu _{A}(\iota _{1}(\iota _{1}(a)))=\iota _{1}(a)$ , $\mu _{A}(\iota _{1}(\iota _{2}(\bullet ))=\mu _{A}(\iota _{2}(\bullet ))=\iota _{2}(\bullet )$ .
  - A categoria $C T$ , neste caso, é isomorfa à categoria ${\mathsf {Set}}_{\star }$ .^{[nota 1]}^[7]^[5]
Quando $C$ é uma pré-ordem, uma mônada é uma função crescente $T : C \to C$ satisfazendo $x \leq T (x)$ , $T (T (x)) \leq T (x)$ , para cada $x \in C$ ; no caso em que a ordem é parcial, $T$ é chamado operador de fecho, e as $T$ -álgebras correspondem aos elementos fechados (isto é, aqueles satisfazendo $T (x) = x$ ).^[4]^[6]
Para cada monoide $(M, e, \circ)$ , há uma mônada na categoria dos conjuntos, na qual $T (A) = M \times A$ , $η A (a) = (e, a)$ e $μ A (x, (y, a)) = (x \circ y, a)$ . Uma $T$ -álgebra é uma ação de monoide.^[6]

Adjunções a partir de mônadas

Dada mônada $(T, η, μ)$ em $C$ , há uma adjunção

(F T, G T, η T, ε T) : C ⇀ C T

,

em que ${\begin{aligned}G^{T}\left((x,h){\xrightarrow {f}}(x',h')\right)&=x{\xrightarrow {f}}x'\\F^{T}\left(x{\xrightarrow {f}}x'\right)&=(T(x),\mu _{x}){\xrightarrow {T(f)}}(T(x'),\mu _{x'})\\(\eta ^{T})_{x}&=\eta _{x}\\(\epsilon ^{T})_{(x,h)}&=h,\end{aligned}}$ e ainda mais esta adjunção induz a mônada $(T, η, μ)$ (isto é, $T = G T \circ F T$ , $η = η T$ e $μ = G T ε T F T$ ).^[6]

A $T$ -álgebra $(T (x), μ x)$ , aparecendo na definição de $F T$ , é chamada $T$ -álgebra livre.^[5]

Categoria de Kleisli

A categoria de Kleisli $C T$ para uma mônada $(T, η, μ)$ é definida por:

ter os seus objetos $a T$ em correspondência biunívoca com os objetos $a$ de $C$ ;
ter os seus morfismos $f T : a T \to b T$ em correspondência biunívoca com os morfismos $f : a \to T (b)$ , com identidades e composições ${\begin{aligned}a_{T}{\xrightarrow {1_{a_{T}}}}a_{T}&=\left(a{\xrightarrow {\eta _{a}}}T(a)\right)_{T}\\a_{T}{\xrightarrow {f_{T}}}b_{T}{\xrightarrow {g_{T}}}c_{T}&=\left(a{\xrightarrow {f}}T(b){\xrightarrow {T(g)}}T^{2}(c){\xrightarrow {\mu _{c}}}T(c)\right)_{T}.\end{aligned}}$

Há também uma adjunção

(F T, G T, η T, ε T) : C ⇀ C T

,

em que ${\begin{aligned}F_{T}(a{\xrightarrow {f}}b)&=\left(a{\xrightarrow {f}}b{\xrightarrow {\eta _{b}}}T(b)\right)_{T}\\G_{T}(a_{T}{\xrightarrow {g_{T}}}b_{T})&=T(a){\xrightarrow {T(g)}}T^{2}(b){\xrightarrow {\mu _{b}}}T(b)\\a{\xrightarrow {(\eta _{T})_{a}}}G_{T}(F_{T}(a))&=a{\xrightarrow {\eta _{a}}}T(a)\\F_{T}(G_{T}(a_{T})){\xrightarrow {(\epsilon _{T})_{a_{T}}}}a_{T}&=\left(T(a){\xrightarrow {1_{T(a)}}}T(a)\right)_{T},\end{aligned}}$ e ainda mais esta adjunção induz a mesma mônada.^[8]^[5]

Functor monádico

A categoria de Eilenberg–Moore e a categoria de Kleisli satisfazem a propriedade universal a seguir. Para cada adjunção $(F, G, η, ε) : C ⇀ D$ , denotando-se por $(T, η, μ)$ a mônada associada, há único functor $L : C T \to D$ tal que $G \circ L = G T$ e $L \circ F T = F$ , e há único functor $K : D \to C T$ tal que $G T \circ K = G$ e $K \circ F = F T$ ; com efeito, eles têm definições:^[8]^[5] ${\begin{aligned}K(d{\xrightarrow {g}}d')&=(G(d),G(\epsilon _{d})){\xrightarrow {G(g)}}(G(d'),G(\epsilon _{d'}))\\L(a_{T}{\xrightarrow {f_{T}}}b_{T})&=F(a){\xrightarrow {F(f)}}F(G(F(b))){\xrightarrow {\epsilon _{F(b)}}}F(b).\end{aligned}}$

Um functor $G$ é dito monádico (respectivamente estritamente monádico) se e só se faz parte de uma adjunção $(F, G, η, ε) : C ⇀ D$ (que é chamada uma adjunção monádica) para a qual o functor de comparação $K : D \to C T$ é uma equivalência de categorias (respectivamente um isomorfismo de categorias).^[9]^[10]

Teorema de monadicidade

Dado functor $G : D \to C$ , um coequalizador que $G$ -cinde para uma dupla de morfismos paralelos $f, g : x \to y$ em $D$ é um coequalizador que cinde para a dupla $G (f), G (g) : G (x) \to G (y)$ . O functor $G : D \to C$ é dito

estritamente criar coequalizadores que $G$ -cindem quando, sempre que $h$ é coequalizador que cinde para uma dupla $G (f), G (g)$ , existe único morfismo $k$ em $D$ tal que $G (k) = h$ , e ainda mais este $k$ é coequalizador para $f, g$ (não necessariamente que cinde).
criar coequalizadores que $G$ -cindem quando, sempre que $f, g$ tem coequalizador que $G$ -cinde, $f, g$ tem coequalizador (não necessariamente que cinde) preservado por $G$ , e ainda mais, sempre que $k$ satisfaz $k \circ f = k \circ g$ e é tal que $G (k)$ é coequalizador que cinde para $G (f), G (g)$ , então $k$ deve ser coequalizador para $f, g$ (não necessariamente que cinde).^[11]^[12]

(Saunders Mac Lane usa o termo criar em vez de estritamente criar.^[13])

Denotando-se por $(T, η, μ)$ a mônada associada a uma adjunção $(F, G, η, ε) : C ⇀ D$ , o functor $G T : C T \to C$ estritamente cria coequalizadores que $G T$ -cindem. Como, para cada $T$ -álgebra $(a, h : T (a) \to a)$ , o diagrama a seguir é coequalizador que cinde ${\begin{array}{c c c c c}&{\overset {\eta _{T(a)}}{\curvearrowleft }}&&{\overset {\eta _{a}}{\curvearrowleft }}\\T^{2}(a)&{\overset {\mu _{a}}{\underset {T(h)}{\rightrightarrows }}}&T(a)&{\underset {h}{\rightarrow }}&a\end{array}}$ tem-se o diagrama de coequalizador em $C T$ ${\begin{array}{c c c c c}(T^{2}(a),\mu _{T(a)})&{\overset {\mu _{a}}{\underset {T(h)}{\rightrightarrows }}}&(T(a),\mu _{a})&{\underset {h}{\rightarrow }}&(a,h)\end{array}}$ chamado de presentação canônica da $T$ -álgebra $(a, h : T (a) \to a)$ ; ela generaliza, por exemplo, a representação de um grupo como um quociente de um grupo livre.^[12]^[13]

O teorema de monadicidade de Beck diz que um functor adjunto direito $G : D \to C$ é monádico (respectivamente estritamente monádico) se e só se cria (respectivamente estritamente cria) coequalizadores que $G$ -cindem.^[14]^[13]

Há uma versão "reflexiva" do teorema de monadicidade. Uma dupla de morfismos $f, g : a \to b$ é dita ser reflexiva quando existe $s : b \to a$ tal que $f \circ s = 1 b = g \circ s$ . Então, dado functor $G : D \to C$ , se

$G$ é functor adjunto direito,
$G$ reflete isomorfismos (isto é, $f$ é isomorfismo sempre que $G (f)$ é isomorfismo),
e $D$ admite coequalizadores de duplas reflexivas que $G$ -cindem e $G$ preserva esses coequalizadores,

então o functor $G$ é monádico.^[15]

O resultado permite demonstrar que os seguintes functores são monádicos:

Os functores "esquecidiços" da categoria de monoides, grupos, anéis, e outras estruturas algébricas, para a categoria dos conjuntos.
O functor "esquecidiço" da categoria de espaços compactos de Hausdorff para a categoria dos conjuntos.^[16]
O functor $P : Set op \to Set$ de conjuntos de partes e pré-imagens.^[14]
A inclusão $D \to C$ de uma subcategoria reflexiva (plena) $D$ em $C$ .^[10]

A utilidade do teorema de Beck é que uma equivalência entre $D$ e $C T$ faz com que essas duas categorias compartilhem algumas propriedades. Por exemplo:

O functor $G T : C T \to C$ reflete isomorfismos e estritamente cria todos os limites existentes em $C$ .^{[nota 2]}
O functor $G T : C T \to C$ estritamente cria todos os colimites existentes em $C$ que são preservados por $T$ e $T 2$ .
Se $C$ é cocompleta e $C T$ admite coequalizadores, então $C T$ também é cocompleta.^[17]

Notas

↑ Acima, denota-se por $\iota _{1}:A\to A\amalg B$ e $\iota _{2}:B\to A\amalg B$ as inclusões no coproduto.
↑ Quando $G : D \to C$ é monádico mas não estritamente monádico, $G$ cria limites existentes em $C$ , mas é possível que não os crie estritamente, diferentemente de $G T$ .

Referências

↑ (Riehl, §5.5, rodapé): "'Triple' is an antiquated synonym for 'monad'."
↑ «Monad – nLab». Consultado em 27 de fevereiro de 2020
↑ Wadler, Philip (agosto de 2001). «Monads for functional programming» (PDF). Departamento de ciência da computação, Universidade de Glásgua. Consultado em 28 de fevereiro de 2020
↑ ^a ^b (Mac Lane, §VI.1)
↑ ^a ^b ^c ^d ^e (Riehl, §5.2)
↑ ^a ^b ^c ^d (Mac Lane, §VI.2)
↑ (Riehl, §5.1)
↑ ^a ^b (Mac Lane, §VI.5)
↑ (Mac Lane, §VI.3)
↑ ^a ^b (Riehl, §5.3)
↑ «Monadicity theorem – nLab». Consultado em 6 de março de 2020
↑ ^a ^b (Riehl, §5.4)
↑ ^a ^b ^c (Mac Lane, §VI.7)
↑ ^a ^b (Riehl, §5.5)
↑ (BARR & WELLS 2005, §3.3)
↑ (Mac Lane, §VI.8, §VI.9)
↑ (RIEHL 2014, §5.6)

Bibliografia

RIEHL, Emily (2014). Category Theory in Context. [S.l.: s.n.]
MAC LANE, Saunders (1998). Categories for the Working Mathematician. Col: Graduate Texts in Mathematics 2 ed. [S.l.]: Springer. ISBN 0-387-98403-8
BARR, Michael; WELLS, Charles (2005), «Toposes, Triples and Theories», Reprints in Theory and Applications of Categories

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[7] Acima, denota-se por $\iota _{1}:A\to A\amalg B$ e $\iota _{2}:B\to A\amalg B$ as inclusões no coproduto.

[18] Quando $G : D \to C$ é monádico mas não estritamente monádico, $G$ cria limites existentes em $C$ , mas é possível que não os crie estritamente, diferentemente de $G T$ .

[riehlTriplaObsol-1] (Riehl, §5.5, rodapé): "'Triple' is an antiquated synonym for 'monad'."

[nlabIntro-2] «Monad – nLab». Consultado em 27 de fevereiro de 2020

[3] Wadler, Philip (agosto de 2001). «Monads for functional programming» (PDF). Departamento de ciência da computação, Universidade de Glásgua. Consultado em 28 de fevereiro de 2020

[maclaneDefExemplos-4] (Mac Lane, §VI.1)

[riehlAlg-5] (Riehl, §5.2)

[maclaneAlg-6] (Mac Lane, §VI.2)

[riehlDefExemplos-8] (Riehl, §5.1)

[maclaneKleisli-9] (Mac Lane, §VI.5)

[maclaneComparAlg-10] (Mac Lane, §VI.3)

[riehlMonadico-11] (Riehl, §5.3)

[nlabMonadic-12] «Monadicity theorem – nLab». Consultado em 6 de março de 2020

[riehlPresentCanon-13] (Riehl, §5.4)

[maclaneBeck-14] (Mac Lane, §VI.7)

[riehlBeck-15] (Riehl, §5.5)

[barrReflexiva-16] (BARR & WELLS 2005, §3.3)

[maclaneBeckAplicado-17] (Mac Lane, §VI.8, §VI.9)

[riehlLimitesAlgebras-19] (RIEHL 2014, §5.6)

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