Números de Stirling do segundo tipo

Em matemática, particularmente em combinatória, um número de Stirling do segundo tipo (ou número de partição de Stirling) é o número de maneiras de particionar um conjunto de n objetos em k subconjuntos não vazios e é denotado por $S(n,k)$ ou $\textstyle \left\{{n \atop k}\right\}$ .^[1] Os números de Stirling do segundo tipo ocorrem no campo da matemática chamado combinatória e no estudo de partições. Eles receberam o nome de James Stirling.

Definição

Os números de Stirling do segundo tipo, escritos $S(n,k)$ ou $\lbrace \textstyle {n \atop k}\rbrace$ ou com outras notações, conta a quantidade de maneiras de particionar um conjunto de $n$ objetos rotulados em $k$ subconjuntos não vazios não rotulados. De forma equivalente, eles contam o número de diferentes relações de equivalência com $k$ classes de equivalência que podem ser definidas em um elemento de conjunto $n$ . De fato, há uma bijeção entre o conjunto de partições e o conjunto de relações de equivalência em um determinado conjunto. Obviamente,

\left\{{n \atop n}\right\}=1

para n ≥ 0, e

\left\{{n \atop 1}\right\}=1

para n ≥ 1,

como a única maneira de particionar um conjunto de n elementos em n partes é colocar cada elemento do conjunto em sua própria parte, e a única maneira de particionar um conjunto não vazio em uma parte é colocar todos os elementos na mesma parte. Ao contrário dos números de Stirling do primeiro tipo, eles podem ser calculados usando uma fórmula de soma única:^[2]

\left\{{n \atop k}\right\}={\frac {1}{k!}}\sum _{i=0}^{k}(-1)^{k-i}{\binom {k}{i}}i^{n}=\sum _{i=0}^{k}{\frac {(-1)^{k-i}i^{n}}{(k-i)!i!}}.

Os números de Stirling do primeiro tipo podem ser caracterizados como os números que surgem quando se expressam potências de um x indeterminado em termos de fatoriais decrescentes^[3]

(x)_{n}=x(x-1)(x-2)\cdots (x-n+1).

(Em particular, (x)₀=1 porque é um produto vazio).

Os números de Stirling do segundo tipo satisfazem a relação

\sum _{k=0}^{n}\left\{{n \atop k}\right\}(x)_{k}=x^{n}.

Notação

Várias notações foram usadas para números de Stirling do segundo tipo. A notação de chaves ${\textstyle \textstyle \lbrace {n \atop k}\rbrace }$ foi usado por Imanuel Marx e Antonio Salmeri em 1962 para variantes desses números.^[4]^[5] Isso levou Knuth a usá-lo, como mostrado aqui, no primeiro volume de The Art of Computer Programming (1968).^[6]^[7] De acordo com a terceira edição de The Art of Computer Programming, esta notação também foi usada anteriormente por Jovan Karamata em 1935.^[8]^[9] A notação $S(n,k)$ foi usada por Richard Stanley em seu livro Enumerative Combinatorics e também, muito antes, por muitos outros escritores.^[6]

As notações usadas nesta página para números de Stirling não são universais e podem entrar em conflito com notações de outras fontes.

Relação com os números de Bell

Desde o número de Stirling $\left\{{n \atop k}\right\}$ conta partições definidas de um conjunto de n elementos em k partes, a soma

B_{n}=\sum _{k=0}^{n}\left\{{n \atop k}\right\}

sobre todos os valores de k é o número total de partições de um conjunto com n membros. Este número é conhecido como o n- ésimo número de Bell .

Analogamente, os números de Bell ordenados podem ser calculados a partir dos números de Stirling do segundo tipo via

a_{n}=\sum _{k=0}^{n}k!\left\{{n \atop k}\right\}.

^[10]

Tabela de valores

Abaixo está uma matriz triangular de valores para os números de Stirling do segundo tipo (sequência A008277 na OEIS) :

k n	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
0	1
1	0	1
2	0	1	1
3	0	1	3	1
4	0	1	7	6	1
5	0	1	15	25	10	1
6	0	1	31	90	65	15	1
7	0	1	63	301	350	140	21	1
8	0	1	127	966	1701	1050	266	28	1
9	0	1	255	3025	7770	6951	2646	462	36	1
10	0	1	511	9330	34105	42525	22827	5880	750	45	1

Assim como os coeficientes binomiais, esta tabela poderia ser estendida para $k > n$ , mas todas as entradas seriam 0.

Propriedades

Relação de recorrência

Os números de Stirling do segundo tipo obedecem à relação de recorrência

\left\{{n+1 \atop k}\right\}=k\left\{{n \atop k}\right\}+\left\{{n \atop k-1}\right\}\quad {\text{, para}}\;0<k<n

com condições iniciais

\left\{{n \atop n}\right\}=1\quad {\text{, para}}\;n\geq 0{\text{ ,}}\quad {\text{ e }}\quad \left\{{n \atop 0}\right\}=\left\{{0 \atop n}\right\}=0\quad {\text{, para }}n>0{\text{.}}

Por exemplo, o número 25 na coluna k = 3 e linha n = 5 é dado por 25 = 7 + (3×6), onde 7 é o número acima e à esquerda de 25, 6 é o número acima de 25 e 3 é a coluna que contém o 6.

Para provar esta recorrência, observe que uma partição dos $n + 1$ objetos em $k$ subconjuntos não vazios ou contém o $(n + 1)$ -ésimo objeto como um elemento único ou não. O número de maneiras pelas quais o elemento único é um dos subconjuntos é dado por

\left\{{n \atop k-1}\right\}

já que devemos particionar os $n$ objetos restantes nos disponíveis $k - 1$ subconjuntos. No outro caso o $(n + 1)$ -ésimo objeto pertence a um subconjunto contendo outros objetos. O número de maneiras é dado por

k\left\{{n \atop k}\right\}

já que particionamos todos os objetos, exceto o $(n + 1)$ -ésimo em k subconjuntos, e então ficamos com k opções para inserir o objeto $n + 1$ . A soma desses dois valores fornece o resultado desejado.

Outra relação de recorrência é dada por

$\left\lbrace {\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right\rbrace ={\frac {k^{n}}{k!}}-\sum _{r=1}^{k-1}{\frac {\left\lbrace {\begin{matrix}n\\r\end{matrix}}\right\rbrace }{(k-r)!}}.$

que decorre da avaliação $\sum _{r=0}^{n}\left\{{n \atop r}\right\}(x)_{r}=x^{n}$ no $x=k$ .

Identidades simples

Algumas identidades simples incluem

\left\{{n \atop n-1}\right\}={\binom {n}{2}}.

Isso ocorre porque dividir n elementos em $n - 1$ conjunto significa necessariamente dividi-lo em um conjunto de tamanho 2 e $n - 2$ conjuntos de tamanho 1. Portanto, precisamos apenas escolher esses dois elementos;

e

\left\{{n \atop 2}\right\}=2^{n-1}-1.

Para ver isso, primeiro observe que há 2ⁿ pares ordenados de subconjuntos complementares A e B. Em um caso, A é vazio e, em outro, B é vazio, então restam $2 n - 2$ pares ordenados de subconjuntos. Por fim, como queremos pares não ordenados em vez de pares ordenados, dividimos esse último número por 2, obtendo o resultado acima.

Outra expansão explícita da relação de recorrência fornece identidades na mesma forma do exemplo acima.

Identidades

A tabela na seção 6.1 de Matemática Concreta fornece uma infinidade de formas generalizadas de somas finitas envolvendo os números de Stirling. Várias somas finitas relevantes para este artigo incluem

{\begin{aligned}\left\{{n+1 \atop k+1}\right\}&=\sum _{j=k}^{n}{n \choose j}\left\{{j \atop k}\right\}\\\left\{{n+1 \atop k+1}\right\}&=\sum _{j=k}^{n}(k+1)^{n-j}\left\{{j \atop k}\right\}\\\left\{{n+k+1 \atop k}\right\}&=\sum _{j=0}^{k}j\left\{{n+j \atop j}\right\}\\\left\{{n \atop \ell +m}\right\}{\binom {\ell +m}{\ell }}&=\sum _{k}\left\{{k \atop \ell }\right\}\left\{{n-k \atop m}\right\}{\binom {n}{k}}\end{aligned}}

Fórmula explícita

Os números de Stirling do segundo tipo são dados pela fórmula explícita:

\left\{{n \atop k}\right\}={\frac {1}{k!}}\sum _{j=0}^{k}(-1)^{k-j}{k \choose j}j^{n}=\sum _{j=0}^{k}{\frac {(-1)^{k-j}j^{n}}{(k-j)!j!}}.

Isso pode ser derivado usando inclusão-exclusão para contar as sobreposições de n a k e usando o fato de que o número dessas sobreposições é ${\textstyle k!\left\{{n \atop k}\right\}}$ .

Além disso, esta fórmula é um caso especial da k-ésima diferença direta do monômio $x^{n}$ avaliado em x = 0:

\Delta ^{k}x^{n}=\sum _{j=0}^{k}(-1)^{k-j}{k \choose j}(x+j)^{n}.

Como os polinômios de Bernoulli podem ser escritos em termos dessas diferenças diretas, obtém-se imediatamente uma relação nos números de Bernoulli :

B_{m}(0)=\sum _{k=0}^{m}{\frac {(-1)^{k}k!}{k+1}}\left\{{m \atop k}\right\}.

A avaliação do exponencialmente incompleto polinômio de Bell B_n,k(x₁, x₂, ...) na sequência de 1's é igual a um número de Stirling do segundo tipo:

\left\{{n \atop k}\right\}=B_{n,k}(1,1,\dots ,1).

Outra fórmula explícita fornecida no Manual de Funções Matemáticas do NIST é

\left\{{n \atop k}\right\}=\sum _{\begin{array}{c}c_{1}+\ldots +c_{k}=n-k\\c_{1},\ldots ,\ c_{k}\ \geq \ 0\end{array}}1^{c_{1}}2^{c_{2}}\cdots k^{c_{k}}

Paridade

Paridade dos números de Stirling do segundo tipo

A paridade de um número de Stirling do segundo tipo é a mesma que a paridade de um coeficiente binomial relacionado:

\left\{{n \atop k}\right\}\equiv {\binom {z}{w}}\ {\pmod {2}},

onde

z=n-\left\lceil \displaystyle {\frac {k+1}{2}}\right\rceil ,\ w=\left\lfloor \displaystyle {\frac {k-1}{2}}\right\rfloor .

onde $a mod b$ denota o resto da divisão inteira de a por b.

Essa relação é especificada pelo mapeamento das coordenadas n e k no triângulo de Sierpiński.

Mais diretamente, deixe dois conjuntos conterem posições de 1's em representações binárias de resultados de expressões respectivas:

{\begin{aligned}\mathbb {A} :\ \sum _{i\in \mathbb {A} }2^{i}&=n-k,\\\mathbb {B} :\ \sum _{j\in \mathbb {B} }2^{j}&=\left\lfloor {\dfrac {k-1}{2}}\right\rfloor .\\\end{aligned}}

É possível imitar uma operação AND bit a bit interseccionando esses dois conjuntos:

{\begin{Bmatrix}n\\k\end{Bmatrix}}\,{\bmod {\,}}2={\begin{cases}0,&\mathbb {A} \cap \mathbb {B} \neq \emptyset ;\\1,&\mathbb {A} \cap \mathbb {B} =\emptyset ;\end{cases}}

onde $a mod b$ denota o resto da divisão inteira de a por b;

para obter a paridade de um número de Stirling de segunda espécie em tempo O (1). Em pseudocódigo:

{\begin{Bmatrix}n\\k\end{Bmatrix}}\,{\bmod {\,}}2:=\left[\left(\left(n-k\right)\ \And \ \left(\left(k-1\right)\,\mathrm {div} \,2\right)\right)=0\right];

onde $a div b$ denota a divisão inteira de $a$ por $b$ ;

onde $\left[b\right]$ é o colchete de Iverson.

A paridade de um número Stirling central do segundo tipo $\textstyle \left\{{2n \atop n}\right\}$ é ímpar se e somente se $n$ é um número fibinário, um número cuja representação binária não possui dois 1s consecutivos.^[11]

Gerando funções

Para um inteiro fixo n, a função geradora ordinária para números de Stirling do segundo tipo $\left\{{n \atop 0}\right\},\left\{{n \atop 1}\right\},\ldots$ é dada por

\sum _{k=0}^{n}\left\{{n \atop k}\right\}x^{k}=T_{n}(x),

onde $T_{n}(x)$ são polinômios de Touchard. Se somarmos os números de Stirling em relação ao fatorial decrescente, podemos mostrar as seguintes identidades, entre outras:

\sum _{k=0}^{n}\left\{{n \atop k}\right\}(x)_{k}=x^{n}

e

\sum _{k=1}^{n+1}\left\{{n+1 \atop k}\right\}(x-1)_{k-1}=x^{n},

que tem como caso especial

\sum _{k=0}^{n}\left\{{n \atop k}\right\}(n)_{k}=n^{n}

Para um inteiro fixo k, os números de Stirling do segundo tipo têm função geradora ordinária racional

\sum _{n=k}^{\infty }\left\{{n \atop k}\right\}x^{n-k}=\prod _{r=1}^{k}{\frac {1}{1-rx}}={\frac {1}{x^{k+1}(1/x)_{k+1}}}

e tem uma função geradora exponencial dada por

\sum _{n=k}^{\infty }\left\{{n \atop k}\right\}{\frac {x^{n}}{n!}}={\frac {(e^{x}-1)^{k}}{k!}}.

Uma função geradora bivariada mista para os números de Stirling do segundo tipo é

\sum _{k=0}^{\infty }\sum _{n=k}^{\infty }\left\{{n \atop k}\right\}{\frac {x^{n}}{n!}}y^{k}=e^{y(e^{x}-1)}.

Limites inferior e superior

Se $n\geq 2$ e $1\leq k\leq n-1$ , então

{\frac {1}{2}}(k^{2}+k+2)k^{n-k-1}-1\leq \left\{{n \atop k}\right\}\leq {\frac {1}{2}}{n \choose k}k^{n-k}

^[12]

Aproximação assintótica

Para valor fixo de $k,$ o valor assintótico dos números de Stirling do segundo tipo como $n\rightarrow \infty$ é dado por

\left\{{n \atop k}\right\}{\underset {n\to \infty }{\sim }}{\frac {k^{n}}{k!}}.

Se $k=o({\sqrt {n}})$ (onde o denota a pequena notação o ) então

\left\{{n+k \atop n}\right\}{\underset {n\to \infty }{\sim }}{\frac {n^{2k}}{2^{k}k!}}.

^[13]

Também existe uma aproximação uniformemente válida: para todo $k$ tal que $1 < k < n$ , obtem-se

\left\{{n \atop k}\right\}\sim {\sqrt {\frac {v-1}{v(1-G)}}}\left({\frac {v-1}{v-G}}\right)^{n-k}{\frac {k^{n}}{n^{k}}}e^{k(1-G)}\left({n \atop k}\right),

onde $v=n/k$ , e $G\in (0,1)$ é a solução única para $G=ve^{G-v}$ .^[14] O erro relativo é limitado por cerca de $0.066/n$ .

Uni-modalidade

Para fixo $n$ , $\left\{{n \atop k}\right\}$ é uni-modal, ou seja, a sequência aumenta e depois diminui. O máximo é atingido para no máximo dois valores consecutivos de k. Ou seja, existe um inteiro $k_{n}$ tal que

\left\{{n \atop 1}\right\}<\left\{{n \atop 2}\right\}<\cdots <\left\{{n \atop k_{n}}\right\}\geq \left\{{n \atop k_{n}+1}\right\}>\cdots >\left\{{n \atop n}\right\}.

Olhando para a tabela de valores acima, os primeiros valores para $k_{n}$ são $0, 1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 4, 5, ...$

Quando $n$ é grande

k_{n}{\underset {n\to \infty }{\sim }}{\frac {n}{\log n}},

o valor máximo do número de Stirling pode ser aproximado com

\log \left\{{n \atop k_{n}}\right\}=n\log n-n\log \log n-n+O(n\log \log n/\log n).

^[12]

Aplicações

Momentos da distribuição de Poisson

Se X é uma variável aleatória com uma distribuição de Poisson com valor esperado λ, então seu n -ésimo momento é

E(X^{n})=\sum _{k=0}^{n}\left\{{n \atop k}\right\}\lambda ^{k}.

Em particular, o n-ésimo momento da distribuição de Poisson com valor esperado 1 é precisamente o número de partições de um conjunto de tamanho n, ou seja, é o n-ésimo número de Bell (este fato é a fórmula de Dobiński ).

Momentos de pontos fixos de permutações aleatórias

Seja a variável aleatória X o número de pontos fixos de uma permutação aleatória uniformemente distribuída de um conjunto finito de tamanho m. Então o n-ésimo momento de X é

E(X^{n})=\sum _{k=0}^{m}\left\{{n \atop k}\right\}.

Observação: O limite superior da soma é m, não n.

Em outras palavras, o n-ésimo momento dessa distribuição de probabilidade é o número de partições de um conjunto de tamanho n em não mais que m partes. Isso é provado no artigo sobre estatísticas de permutação aleatória, embora a notação seja um pouco diferente.

Esquemas de rima

Os números de Stirling do segundo tipo podem representar o número total de esquemas de rima para um poema de n linhas. $S(n,k)$ fornece o número de métricas possíveis para n linhas usando k sílabas rimadas únicas. Por exemplo, para um poema de 3 versos, há 1 esquema de rima usando apenas uma rima (aaa), 3 esquemas de rima usando duas rimas (aab, aba, abb) e 1 esquema de rima usando três rimas (abc).

Variantes

Números de r-Stirling do segundo tipo

O número r-Stirling do segundo tipo $\left\{{n \atop k}\right\}_{r}$ conta o número de partições de um conjunto de n objetos em k subconjuntos disjuntos não vazios, de modo que os primeiros r elementos estejam em subconjuntos distintos.^[15] Esses números satisfazem a relação de recorrência

\left\{{n \atop k}\right\}_{r}=k\left\{{n-1 \atop k}\right\}_{r}+\left\{{n-1 \atop k-1}\right\}_{r}

Algumas identidades combinatórias e uma conexão entre esses números e gramáticas livres de contexto podem ser encontradas em.^[16]

Números associados de Stirling do segundo tipo

Um número de Stirling associado a r do segundo tipo é o número de maneiras de particionar um conjunto de n objetos em k subconjuntos, com cada subconjunto contendo pelo menos r elementos.^[17] É denotado por $S_{r}(n,k)$ e obedece a relação de recorrência

S_{r}(n+1,k)=k\ S_{r}(n,k)+{\binom {n}{r-1}}S_{r}(n-r+1,k-1)

Os números associados a 2 (sequência A008299 na OEIS) aparecem em outros lugares como "números de Ward" e como as magnitudes dos coeficientes dos polinômios de Mahler.

Números de Stirling reduzidos do segundo tipo

Denote os n objetos a serem particionados pelos inteiros $1, 2, ..., n$ . Defina os números de Stirling reduzidos do segundo tipo, denotados $S^{d}(n,k)$ , para serem o número de maneiras de particionar os inteiros $1, 2, ..., n$ em k subconjuntos não vazios, de modo que todos os elementos em cada subconjunto tenham uma distância em pares de pelo menos d. Ou seja, para quaisquer inteiros i e j em um determinado subconjunto, é necessário que $|i-j|\geq d$ . Foi demonstrado que estes números satisfazem

S^{d}(n,k)=S(n-d+1,k-d+1),n\geq k\geq d

(daí o nome "reduzido").^[18] Observe (tanto pela definição quanto pela fórmula de redução) que $S^{1}(n,k)=S(n,k)$ , os familiares números de Stirling do segundo tipo.

Referências

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[:0-1] Ronald L. Graham, Donald E. Knuth, Oren Patashnik (1988) Concrete Mathematics, Addison–Wesley, Reading MA. ISBN 0-201-14236-8, p. 244.

[2] «Stirling Numbers of the Second Kind, Theorem 3.4.1»

[3] Confusingly, the notation that combinatorialists use for falling factorials coincides with the notation used in special functions for rising factorials; see Pochhammer symbol.

[4] Transformation of Series by a Variant of Stirling's Numbers, Imanuel Marx, The American Mathematical Monthly 69, #6 (June–July 1962), pp. 530–532, JSTOR 2311194.

[5] Antonio Salmeri, Introduzione alla teoria dei coefficienti fattoriali, Giornale di Matematiche di Battaglini 90 (1962), pp. 44–54.

[tnn-6] Knuth, D.E. (1992), «Two notes on notation», Amer. Math. Monthly, 99 (5): 403–422, Bibcode:1992math......5211K, arXiv:math/9205211 , doi:10.2307/2325085

[7] Donald E. Knuth, Fundamental Algorithms, Reading, Mass.: Addison–Wesley, 1968.

[8] . 66, Donald E. Knuth, Fundamental Algorithms, 3rd ed., Reading, Mass.: Addison–Wesley, 1997.

[9] Jovan Karamata, Théorèmes sur la sommabilité exponentielle et d'autres sommabilités s'y rattachant, Mathematica (Cluj) 9 (1935), pp, 164–178.

[10] Sprugnoli, Renzo (1994), «Riordan arrays and combinatorial sums» (PDF), Discrete Mathematics, 132 (1–3): 267–290, MR 1297386, doi:10.1016/0012-365X(92)00570-H

[11] Chan, O-Yeat; Manna, Dante (2010), «Congruences for Stirling numbers of the second kind» (PDF), Gems in Experimental Mathematics, Contemporary Mathematics, 517, Providence, Rhode Island: American Mathematical Society, pp. 97–111, MR 2731094, doi:10.1090/conm/517/10135

[RennieDobson1969-12] Rennie, B.C.; Dobson, A.J. (1969). «On stirling numbers of the second kind». Journal of Combinatorial Theory. 7 (2): 116–121. ISSN 0021-9800. doi:10.1016/S0021-9800(69)80045-1

[13] L. C. Hsu, Note on an Asymptotic Expansion of the nth Difference of Zero, AMS Vol.19 NO.2 1948, pp. 273--277

[14] N. M. Temme, Asymptotic Estimates of Stirling Numbers, STUDIES IN APPLIED MATHEMATICS 89:233-243 (1993), Elsevier Science Publishing.

[15] Broder, A. (1984). The r-Stirling numbers. Discrete Mathematics 49, 241-259

[16] Triana, J. (2022). r-Stirling numbers of the second kind through context-free grammars. Journal of automata, languages and combinatorics 27(4), 323-333

[17] L. Comtet, Advanced Combinatorics, Reidel, 1974, p. 222.

[18] A. Mohr and T.D. Porter, Applications of Chromatic Polynomials Involving Stirling Numbers, Journal of Combinatorial Mathematics and Combinatorial Computing 70 (2009), 57–64.

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