Operador diferencial

Na matemática, um operador diferencial é definido como uma função do operador de diferenciação. É útil, primeiramente por questão de notação, ao considerar diferenciação como uma operação abstrata que recebe uma função e retorna outra função (no estilo de uma função de ordem maior em ciência da computação).

Este artigo considera principalmente operadores lineares, que são o tipo mais comum. Porém, operadores não-lineares, como a derivada Schwarziana, também existem.

Definição

Assuma que haja uma transformação $A$ de um espaço funcional ${\mathcal {F}}_{1}$ para outro espaço funcional ${\mathcal {F}}_{2}$ e uma função $f\in {\mathcal {F}}_{2}$ tal que $f$ é a imagem de $u\in {\mathcal {F}}_{1}$, ou seja, $f=A(u)$. Um operador diferencial é representado como uma combinação linear, finitamente gerada por $u$ e suas derivadas de alto grau, tal como

$P(x,D)=\sum _{|\alpha |\leq m}a_{\alpha }(x)D^{\alpha }\ ,$

em que o conjunto de inteiros não-negativos, $\alpha =(\alpha _{1},\alpha _{2},\cdots ,\alpha _{n})$, é um índice múltiplo, $|\alpha |=\alpha _{1}+\alpha _{2}+\cdots +\alpha _{n}$é chamado de comprimento, $a_{\alpha }(x)$ são funções em algum domínio aberto em um espaço n-dimensional e $D^{\alpha }=D^{\alpha _{1}}D^{\alpha _{2}}\cdots D^{\alpha _{n}}\ .$

Notação

O operador diferencial é denotado por $D$ , que representa a ação de tomar a derivada em si, de modo que, dada uma função $y=f(x)$ , temos que as representações comuns para a primeira derivada em relação à uma variável x incluem:

${d \over dx},D,\,D_{x},\,$ e $\partial _{x}.$

Quando tomando derivadas de maior grau, n, o operador pode também ser escrito como:

${d^{n} \over dx^{n}},Dn,{\displaystyle D^{n}\,,}D^{n}\,$e $D_{x}^{n}.\,$

A derivada de uma função $f$ de argumento $x$ é às vezes dada em uma das seguintes formas:

$[f(x)]'\,\!$, $f'(x).\,\!$

A criação e uso da notação $D$ é creditada à Oliver Heaviside, que considerou operadores diferenciais da forma

$\sum _{k=0}^{n}c_{k}D^{k}$

em seu estudo sobre equações diferenciais.

Um dos operadores diferenciais mais vistos é o operador Laplaciano, definido como

$\Delta =\nabla ^{2}=\sum _{k=1}^{n}{\partial ^{2} \over \partial x_{k}^{2}}.$

Na escrita, seguindo a convenção matemática padrão, o argumento do operador diferencial é usualmente colocado do lado direito do próprio operador. Às vezes, porém, uma notação alternativa é usada: o resultado de aplicar o operador na função do lado esquerdo do operador e do lado direito, e a diferença obtida quando aplicando o operador diferencial à funções de ambos os lados, são denotadas por flechas da maneira seguinte:

$f{\overleftarrow {\partial _{x}}}g=g\cdot \partial _{x}f$

$f{\overrightarrow {\partial _{x}}}g=f\cdot \partial _{x}g$

$f{\overleftrightarrow {\partial _{x}}}g=f\cdot \partial _{x}g-g\cdot \partial _{x}f.$

Tal notação de flecha bidirecional é frequentemente usada para descrever a corrente de probabilidade na mecânica quântica.

Del

Artigo principal: Del

O operador diferencial del, também chamado de operador nabla, é um importante operador diferencial vetorial. Ele aparece frequentemente na física em locais como a forma diferencial das equações de Maxwell. Nas coordenadas tridimensionais Cartesianas, del é definido como:

$\nabla ={\partial \over \partial x}\mathbf {\hat {x}} +{\partial \over \partial y}\mathbf {\hat {y}} +{\partial \over \partial z}\mathbf {\hat {z}} .$

O del é usado para calcular o gradiente, rotacional, divergente, e o Laplaciano de diversos objetos.

Adjunto de um operador

Dado um operador diferencial linear $T$

$Tu=\sum _{k=0}^{n}a_{k}(x)D^{k}u$,

o adjunto desse operador é definido como o operador $T^{*}$ tal que

$\langle Tu,v\rangle =\langle u,T^{*}v\rangle$

onde a notação $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ é usada para o produto escalar ou produto interno. Esta definição portanto depende da definição de produto escalar.

Adjunto formal em uma variável

No espaço funcional de funções quadrado-integráveis, o produto escalar é definido como

$\langle f,g\rangle =\int _{a}^{b}f(x)\,{\overline {g(x)}}\,dx,$

onde ${\overline {g(x)}}$ é o par conjugado complexo de g(x). Se mais do que isso é adicionada a condição de que f ou g desaparece quando $x\to a$ e $x\to b$, pode-se definir o adjunto de T como

$T^{*}u=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}D^{k}[{\overline {a_{k}(x)}}u].\,$

Essa fórmula não depende explicitamente da definição de produto escalar. Ela é, portanto, às vezes escolhida como a definição de operador adjunto. Quando $T^{*}$ é definido por essa fórmula, é chamado de adjunto formal de T. Um operador autoadjunto (formal) é um operador igual ao seu próprio adjunto (formal).

Várias variáveis

Se Ω é o domínio em Rⁿ, e P um operador diferencial em Ω, então o adjunto de P é definido no Espaço Lp L²(Ω) por dualidade de maneira análoga:

$\langle f,P^{*}g\rangle _{L^{2}(\Omega )}=\langle Pf,g\rangle _{L^{2}(\Omega )}$

para todas as funções L² suaves f, g. Como funções suaves são densas em L² , isto define o adjunto de um subconjunto L² denso : P^* é um operador densamente definido.

Exemplo

O operador de Sturm-Liouville é um exemplo bem conhecido de um operador autoadjunto formal. Este operador diferencial linear de segunda ordem pode ser escrito na forma

$Lu=-(pu')'+qu=-(pu''+p'u')+qu=-pu''-p'u'+qu=(-p)D^{2}u+(-p')Du+(q)u.\;\!$

Essa propriedade pode ser provada usando a definição de adjunto formal acima:

${\begin{aligned}L^{*}u&{}=(-1)^{2}D^{2}[(-p)u]+(-1)^{1}D[(-p')u]+(-1)^{0}(qu)\\&{}=-D^{2}(pu)+D(p'u)+qu\\&{}=-(pu)''+(p'u)'+qu\\&{}=-p''u-2p'u'-pu''+p''u+p'u'+qu\\&{}=-p'u'-pu''+qu\\&{}=-(pu')'+qu\\&{}=Lu\end{aligned}}$

Esse operador é importante na Teoria de Sturm-Liouville, onde as funções-eigen (análogas a vetores-eigen) desse operador são consideradas.

Polinômio de Operadores

Como consequência imediata da definição de operadores, podemos escrever

$D(D(y))=D(y')=y''$.

Ou seja:

$D^{2}(y)=y''$.

Generalizando, definimos

$D^{n}(y)=y^{(n)}$ como a derivada de $y$ de ordem $n$, para qualquer inteiro não negativo.

Podemos agora definir um polinômio de operadores $P(D)=a_{n}D^{n}+a_{n-1}D^{n-1}+...+a_{1}D+a_{0}$, onde

$a_{0},a_{1},...,a_{n-1},a_{n}$ são números reais, como:

$(a_{n}D^{n}+a_{n-1}D^{n-1}+...+a_{1}D+a_{0})y=a_{n}y^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)}+...+a_{1}y^{(1)}+a_{0}y$.

Operações com polinômios em D

De certa forma é possível realizar operações com polinômios em D da mesma forma que se realiza com polinômios convencionais, estando bem definidas as operações de Adição, Subtração e Multiplicação, como mostrado a seguir:

Sejam $P(D)$ e $Q(D)$ polinômios em $D$, $\alpha \in \mathbb {R}$ e $f$ uma função infinitamente diferenciável. Definimos:

1. $(P(D)+Q(D))f=P(D)f+Q(D)f$
2. $(\alpha P(D))f=\alpha P(D)f$
3. $P(D)(Q(D)f)=P(D)Q(D)f$

Observação: a operação de Multiplicação é comutativa, ou seja, $P(D)Q(D)=Q(D)P(D)$.

Resolução de sistemas de equações diferenciais com operadores

Sistemas de equações diferenciais não muito complexos podem ser resolvidos com Operadores Diferenciais, visto a praticidade de se representar equações diferenciais com os mesmos, e pelo fato de se poder operá-los como polinômios convencionais, ou seja, pode-se operar polinômios em $D$ como se fossem coeficientes constantes. No entanto, deve-se lembrar que a operação de Divisão de Operadores não foi definida, logo não se deve dividir operadores diferenciais nos métodos em que estes são úteis para sistemas de equações.

Anel de operadores diferenciais polinomiais

Anel de operadores diferenciais polinomiais invariantes

Seja R um anel, e $R\langle D,X\rangle$ um anel polinomial não-comutativo em R nas variáveis D e X, e $I$ o ideal dual gerado por DX-XD-1, então o anel de operadores diferenciais polinomiais invariantes em R é o anel quociente $R\langle D,X\rangle /I$. Esse é um anel não-comutativo simples. Todos os elementos podem ser escritos de uma forma única como uma combinação R-linear de monômios da forma $X^{a}D^{b}\mod {I}$. Ele suporta um análogo da divisão Euclidiana de polinômios. Módulos diferenciais em $R[X]$ (para a derivação padrão) podem ser identificados com módulos em $R\langle D,X\rangle /I$.

Anel de operadores diferenciais polinomiais multivariantes

Seja R um anel, e $R\langle D_{1},\ldots ,D_{n},X_{1},\ldots ,X_{n}\rangle$um anel polinomial não-comutativo em R nas variáveis $D_{1},\ldots ,D_{n},X_{1},\ldots ,X_{n}$, e $I$ o ideal dual gerado pelos elementos $D_{i}X_{j}-X_{j}D_{i}-\delta _{i,j},D_{i}D_{j}-D_{j}D_{i},X_{i}X_{j}-X_{j}X_{i}$para todo $1\leq i,j\leq n$ onde $\delta$ é o delta de Kronecker, então o anel de operadores diferenciais polinomiais multivariantes em R é o anel quociente $R\langle D_{1},\ldots ,D_{n},X_{1},\ldots ,X_{n}\rangle /I.$Esse é um anel não-comutativo. Todos os elementos podem ser escritos de uma forma única como uma combinação R-linear de monômios da forma $X_{1}^{a_{1}}\ldots X_{n}^{a_{n}}D_{1}^{b_{1}}\ldots D_{n}^{b_{n}}.$

Descrição independente de coordenadas

Em geometria diferencial e geometria algébrica, é geralmente conveniente ter uma descrição de operadores diferenciais independente de coordenadas entre dois fibrados vetoriais. Sejam E e F dois fibrados vetoriais em uma superfície diferenciável M. Uma transformação R-linear de seções P: Γ(E) → Γ(F) é dita como sendo um operador diferencial linear de k-ésima ordem se ele é fatorável sobre o fibrado de jet J^k(E). Em outras palavras, existe uma transformação linear de fibrados vetoriais

$i_{P}:J^{k}(E)\to F$

tal que

$P=i_{P}\circ j^{k}$

onde j^k: Γ(E) →Γ(J^k(E)) é a continuação que associa a qualquer parte de E seu k-jet.

Isso significa que para uma dada seção s de E, o valor de P(s) no ponto x ∈ M é inteiramente definido na k-ésima ordem infinitesimal o comportamento de  s em x. Em particular isso implica que P(s)(x) é determinado pelo germ de s em x, que se expressa ao dizer que todos os operadores diferenciais são locais.