Quatro quatros

O objetivo do problema dos quatro quatros é formar números inteiros usando quatro algarismos 4 e operações aritméticas elementares. Por exemplo, para formar o número 3, podemos fazer 3 = (4 + 4 + 4) / 4.

Problema

O problema dos quatro quatros foi apresentado na obra O Homem que Calculava, do autor brasileiro Júlio César de Mello e Souza, sob o heterônimo Malba Tahan. O problema consiste em formar expressões aritméticas utilizando apenas quatro algarismos 4, equivalentes, cada um, aos números inteiros.

Segundo o autor, é possível formar todos os números inteiros entre 0 e 100, utilizando, além dos números, quaisquer sinais e operações matemáticas, sem envolver letras ou inventar funções apenas para resolver o problema. Entusiastas têm resolvido o problema para mesmo além dos 10.000 primeiros inteiros.

Operações utilizadas

Para encontrar as soluções para este problema, foram empregados os seguintes sinais da matemática:

• + (adição)
• - (subtração)
• * (multiplicação)
• ${\frac {x}{y}}$ (divisão)
• n! (fatorial - representa o produto entre todos os números inteiros positivos menores ou iguais a n — $4!=1*2*3*4=24$)
• n? (termial - representa a soma de todos os números inteiros positivos menores ou iguais a n — $4?=1+2+3+4=10$)
• $x^{n}$ (exponenciação)
• √ (radiciação) - raiz quadrada e raiz quarta

Além dessas operações, pode-se fazer uso da notação decimal, usando-se a concatenação do algarismo 4 para formar os números 44, 444 e 4444.

Fórmula Geral

Uma solução geral para o problema dos Quatro Quatros, proposta por Rui Chammas e Roger Chammas, é a que todo número natural $n$ pode ser representado através da fórmula abaixo:

$n=-{\frac {log_{\sqrt {4}}\left(log_{\sqrt {4}}\;\left({\begin{matrix}4n+1\;{\mbox{radicais}}\\\overbrace {\sqrt {\sqrt {\cdots {\sqrt {4}}}}} \end{matrix}}\right)\right)}{4}}$

Na fórmula alternativa abaixo, o número de raízes quadradas no termo da direita é igual ao número que se quer representar na esquerda.

$n=log_{\frac {\sqrt {4}}{4}}\left(log_{4}\;\left({\begin{matrix}n\;{\mbox{radicais}}\\\overbrace {\sqrt {\sqrt {\cdots {\sqrt {4}}}}} \end{matrix}}\right)\right)$

A prova desta igualdade se dá pela indução abaixo. Os termos com a mesma cor são equivalentes.

${\begin{aligned}1&=\log _{\frac {1}{2}}({\color {green}{\frac {1}{2}}})^{\color {green}{1}}=\log _{\color {red}{\frac {1}{2}}}({\color {green}{\log _{4}4}}^{({\color {green}{\frac {1}{2}}})^{\color {green}{1}}})=log_{\color {red}{\frac {\sqrt {4}}{4}}}(\log _{4}{\color {blue}{4^{({\frac {1}{2}})^{1}}}})=log_{\frac {\sqrt {4}}{4}}(\log _{4}{\color {blue}{\sqrt {4}}})\\2&=\log _{\frac {1}{2}}({\color {green}{\frac {1}{2}}})^{\color {green}{2}}=\log _{\color {red}{\frac {1}{2}}}({\color {green}{\log _{4}4}}^{({\color {green}{\frac {1}{2}}})^{\color {green}{2}}})=log_{\color {red}{\frac {\sqrt {4}}{4}}}(\log _{4}{\color {blue}{4^{({\frac {1}{2}})^{2}}}})=log_{\frac {\sqrt {4}}{4}}(\log _{4}{\color {blue}{\sqrt {\sqrt {4}}}})\\3&=\log _{\frac {1}{2}}({\color {green}{\frac {1}{2}}})^{\color {green}{3}}=\log _{\color {red}{\frac {1}{2}}}({\color {green}{\log _{4}4}}^{({\color {green}{\frac {1}{2}}})^{\color {green}{3}}})=log_{\color {red}{\frac {\sqrt {4}}{4}}}(\log _{4}{\color {blue}{4^{({\frac {1}{2}})^{3}}}})=log_{\frac {\sqrt {4}}{4}}(\log _{4}{\color {blue}{\sqrt {\sqrt {\sqrt {4}}}}})\\&\dots \\n&=\log _{\frac {1}{2}}({\color {green}{\frac {1}{2}}})^{\color {green}{n}}=\log _{\color {red}{\frac {1}{2}}}({\color {green}{\log _{4}4}}^{({\color {green}{\frac {1}{2}}})^{\color {green}{n}}})=log_{\color {red}{\frac {\sqrt {4}}{4}}}(\log _{4}{\color {blue}{4^{({\frac {1}{2}})^{n}}}})=log_{\frac {\sqrt {4}}{4}}(\log _{4}{\color {blue}\underbrace {\sqrt {\sqrt {\dots {\sqrt {\sqrt {4}}}}}} _{n{\text{ raízes quadradas}}}})\\\end{aligned}}$

Soluções (até o 120)

Soluções
$0=44-44$	$28=(4+4)*4-4$	$56=4*4+4?*4$	$84=4?*4?-4*4$
$1={\frac {44}{44}}$	$29=4!+4+{\frac {4}{4}}$	$57=(4?)?+4-4+{\sqrt {4}}$	$85=(4?)?+4?+4?+4?$
$2={\frac {4}{4}}+{\frac {4}{4}}$	$30=\left(4-{\frac {4}{4}}\right)*4?$	$58=(4?)?+4-{\frac {4}{4}}$	$86=4?*4?-4-4?$
$3={\frac {4*4-4}{4}}$	$31={\frac {4?*4?+4!}{4}}$	$59=(4?)?+4-4+4$	$87=(4?)?+4*(4+4)$
$4={\frac {4-4}{4}}+4$	$32=4*4+4*4$	$60=4*4*4-4$	$88=44+44$
$5={\frac {4*4+4}{4}}$	$33=4?+4!-{\frac {4}{4}}$	$61=(4?)?+4+4-{\sqrt {4}}$	$89=(4?)?+4!+({\sqrt {4}}?)?+4$
$6=4+{\frac {4+4}{4}}$	$34=4?+4?+4?+4$	$62={\frac {4?*4?+4!}{\sqrt {4}}}$	$90=(4?)?+(4?)?-4?-4?$
$7={\frac {44}{4}}-4$	$35=4?+4!+{\frac {4}{4}}$	$63={\frac {4^{4}-4}{4}}$	$91=(4?)?+4?*4-4$
$8={\frac {4+4}{4}}*4$	$36=44-4-4$	$64=4^{4-{\frac {4}{4}}}$	$92=4?*4?-4-4$
$9=4+4+{\frac {4}{4}}$	$37=(4?)?-4!+4+{\sqrt {4}}$	$65={\frac {4^{4}+4}{4}}$	$93=(4?)?+4!+4!-4?$
$10={\frac {44-4}{4}}$	$38=44-{\frac {4!}{4}}$	$66=4*4*4+{\sqrt {4}}$	$94=4?*4?-4-{\sqrt {4}}$
$11=4?+4^{4-4}$	$39=4?*4-{\frac {4}{4}}$	$67=(4?)?+4+4+4$	$95=4!*4-{\frac {4}{4}}$
$12={\frac {44+4}{4}}$	$40=4!+4!-4-4$	$68=4*4*4+4$	$96=4!*4+4-4$
$13=4?+4-{\frac {4}{4}}$	$41=4?*4+{\frac {4}{4}}$	$69=(4?)?+4?+{\sqrt {4}}+{\sqrt {4}}$	$97=4!*4+{\frac {4}{4}}$
$14={\frac {4!}{4}}+4+4$	$42=4!+4!-4-{\sqrt {4}}$	$70={\frac {4?*(4!+4)}{4}}$	$98=4?*4?-4+{\sqrt {4}}$
$15=4*4-{\frac {4}{4}}$	$43=44-{\frac {4}{4}}$	$71=(4?)?+{\sqrt {4}}*{\sqrt {4}}*4$	$99=4?*4?-{\frac {4}{4}}$
$16=4^{\frac {4}{4}}*4$	$44={\frac {44*4}{4}}$	$72={\sqrt {4}}*(4?+4!+{\sqrt {4}})$	$100=4?*4?+4-4$
$17=4*4+{\frac {4}{4}}$	$45=44+{\frac {4}{4}}$	$73=(4?)?+4*4+{\sqrt {4}}$	$101=4?*4?+{\frac {4}{4}}$
$18=4?+4+{\sqrt {4}}+{\sqrt {4}},$	$46=4!+4?+4?+{\sqrt {4}}$	$74=4*4*4+4?$	$102=4?*4?+4-{\sqrt {4}}$
$19=4!-4-{\frac {4}{4}}$	$47=4!+4!-{\frac {4}{4}}$	$75=(4?)?+4*4+4$	$103=(4?)?+44+4$
$20=4?*{\frac {4+4}{4}}$	$48=4!+4!+4-4$	$76=4?*(4+4)-4$	$104=4?*4?+{\sqrt {4}}+{\sqrt {4}}$
$21=4!-4+{\frac {4}{4}}$	$49=4!+4!+{\frac {4}{4}}$	$77=(4?)?+4?+4?+{\sqrt {4}}$	$105=({\frac {4!}{4}}+4+4)?$
$22=4!-{\frac {4+4}{4}}$	$50={\frac {4!}{4}}+44$	$78=4?*(4+4)-{\sqrt {4}}$	$106=4^{4}-{\frac {(4!)?}{\sqrt {4}}}$
$23=4!-4^{4-4}$	$51=(4?)?-4!+4!-4$	$79=(4?)?+4?+4?+4$	$107={\frac {(4!-4)?}{\sqrt {4}}}+{\sqrt {4}}$
$24=4*4+4+4$	$52=44+4+4$	$80=4*4?+4*4?$	$108=4?*4?+4+4$
$25=4!+4^{4-4}$	$53=(4?)?-{\sqrt {4}}-4+4$	$81=(4-{\frac {4}{4}})^{4}$	$109=(4*4-{\sqrt {4}})?+4$
$26=4!+{\frac {4+4}{4}}$	$54=4!+4!+{\sqrt {4}}+4$	$82=4?*(4+4)+{\sqrt {4}}$	$110=(4?)?+(4?)?+4-4$
$27=4!+4-{\frac {4}{4}}$	$55=(4?)?+4-{\sqrt {4}}-{\sqrt {4}}$	$83=(4?)?+4!+{\sqrt {4}}+{\sqrt {4}}$	$111={\frac {444}{4}}$
$112=(4?)?+(4?)?+4-{\sqrt {4}}$	$113=4!+4!+4?+({\sqrt {4}}?)$	$114=(4?)?+(4?)?+{\sqrt {4}}+{\sqrt {4}}$	$115=(4?)?+(4?)?+{\frac {4?}{\sqrt {4}}}$
$116=4?*4?+4*4$	$117=(4?)?*({\sqrt {4}}?)-4!-4!$	$118=(4?)?+(4?)?+4+4$	$119=(4?)?+(4?)?+{\sqrt {4}}?*{\sqrt {4}}?$
$120=4?*4?+4!-4$

π, i, e

A função gama generaliza o fatorial para números que não são inteiros, ou, mais precisamente, $\Gamma (n+1)=n!.$ Em particular, como $\Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)={\sqrt {\pi }},$ pode-se dizer que $\left(-{\frac {1}{2}}\right)!={\sqrt {\pi }}.$ Portanto, o número transcendente π pode ser escrito com quatro quatros:

$$\pi ={\Bigg (}{\bigg (}{\frac {{\sqrt {4}}-4}{4}}{\bigg )}!{\Bigg )}^{\sqrt {4}}$$

A unidade imaginária i também pode ser escrita como:

$$i={\sqrt {-{\frac {4\times 4}{4\times 4}}}}$$

Não é possível escrever o número de Euler e, porém é possível se aproximar o quanto se queira:

$$e\approx {\Bigg (}{\frac {4!!!!+{\sqrt {4!!!!}}}{4!!!!}}{\Bigg )}^{\sqrt {4!!!!}}$$