Tempo local (matemática)

Na teoria matemática dos processos estocásticos, o tempo local é um processo estocástico associado a processos de difusão como o movimento browniano, que caracteriza a quantidade de tempo que uma partícula dispende em determinado nível. O tempo local aparece em várias fórmulas de integração estocástica se o integrando não é suficientemente derivável, tal como a fórmula de Tanaka. Também é estudado em mecânica estatística no contexto de campos aleatórios.

Uma amostra de um trajeto de um processo Itō junto com sua superfície de tempos locais.

Definição formal

Para um processo de difusão real $(B_{s})_{s\geq 0}$, o tempo local de $B$ até o ponto $x$ é um processo estocástico. Matematicamente, a definição de tempo local é:

$L^{x}(t)=\int _{0}^{t}\delta (x-B_{s})\,ds$,

onde $B_{s}$ é o processo de difusão e $\delta$ é a função delta de Dirac. É uma noção inventada por Paul Lévy. A ideia básica é que $L^{x}(t)$ é uma medida (reescalonada) de quanto tempo $B_{s}$ dispendeu em $x$ até o momento $t$. Pode ser escrito como:

$L^{x}(t)=\lim _{\varepsilon \downarrow 0}{\frac {1}{2\varepsilon }}\int _{0}^{t}1_{\{x-\varepsilon <B_{s}<x+\varepsilon \}}\,ds$,

que explica porque é chamado de tempo local de $B$ em $x$. Para um processo de espaço de estado discreto $(X_{s})_{s\geq 0}$, o tempo local pode ser expresso de forma mais simples como:

$L^{x}(t)=\int _{0}^{t}1_{\{x\}}(X_{s})\,ds$.

Fórmula de Tanaka

A fórmula de Tanaka fornece uma definição de tempo local para um semimartingale contínuo arbitrário $(X_{s})_{s\geq 0}$ em $\mathbb {R}$:

$L^{x}(t)=|X_{t}-x|-|X_{0}-x|-\int _{0}^{t}\left(1_{(0,\infty )}(X_{s}-x)-1_{(-\infty ,0]}(X_{s}-x)\right)dX_{s},\qquad t\geq 0$.

Uma forma mais geral foi provada independentemente por Meyer e Wang; a fórmula estende o lema de Itô para duas funções diferenciáveis para uma classe mais geral de funções. Se$F:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ é absolutamente contínuo com a derivada $F'$, que é de variação limitada, então:

$F(X_{t})=F(X_{0})+\int _{0}^{t}F'_{-}(X_{s})dX_{s}+{\frac {1}{2}}\int _{-\infty }^{\infty }L^{x}(t)dF'(x)$,

onde $F'_{-}$ é a derivada esquerda.

Se $X$ é um movimento browniano, então para qualquer $\alpha \in (0,1/2)$ o campo de tempos locais $L=(L^{x}(t))_{x\in \mathbb {R} ,t\geq 0}$ tem uma modificação que é Hölder contínua em $x$com expoente $\alpha$, uniformemente para $x$ e $t$. Em geral, $L$ tem uma modificação que é contínua em $t$ e càdlàg em $x$.

A Fórmula de Tanaka fornece a forma explícita decomposição de Doob-Meyer para o movimento browniano refletido unidimensional, $(|B_{s}|)_{s\geq 0}$.

Teoremas Ray–Knight

O campo de tempos locais $L_{t}=(L_{t}^{x})_{x\in E}$ associado a um processo estocástico no espaço $E$ é um tema bem estudado na área de campos aleatórios. Os teoremas do tipo Ray-Knight relacionam o campo $L_{t}$ com um processo Gaussiano associado.

Em geral, os teoremas Ray-Knight do primeiro tipo consideram o campo $L_{t}$ em um momento de batimento do processo subjacente, enquanto que os teoremas do segundo tipo são em termos de um tempo de parada no qual o campo de tempos locais primeiro excede um dado valor.

Primeiro teorema de Ray–Knight

Seja $(B_{t})_{t\geq 0}$ um movimento browniano unidimensional $B_{0}=a>0$, e $(W_{t})_{t\geq 0}$ um movimento browniano bidimensional padrão $W_{0}=0\in R^{2}$. Para definir o tempo de parada em que $B$ primeiro atinge a origem, $T=\inf\{t\geq 0\colon B_{t}=0\}$, Ray e Knight (independentemente) mostraram que,

$\mathbf {(1)} \left\{L^{x}(T)\colon x\in [0,a]\right\}{\stackrel {\mathcal {D}}{=}}\left\{|W_{x}|^{2}\colon x\in [0,a]\right\}\,$

onde $(L_{t})_{t\geq 0}$ é o campo dos tempos locais de $(B_{t})_{t\geq 0}$, e a igualdade está na distribuição $C[0,a]$. O processo $|W_{x}|^{2}$ é conhecido como o processo de Bessel ao quadrado.

Segundo teorema Ray–Knight

Seja $(B_{t})_{t\geq 0}$ um movimento browniano unidimensional padrão $B_{0}=0\in R$, e seja $(L_{t})_{t\geq 0}$ um campo associado dos tempos locais. Seja $T_{a}$ a primeira vez em que o tempo local em zero excede $a>0$

$T_{a}=\inf\{t\geq 0\colon L_{t}^{0}>a\}.$

Seja $(W_{t})_{t\geq 0}$ um movimento browniano unidimensional independente $W_{0}=0$, então

$\mathbf {(2)} \left\{L_{T_{a}}^{x}+W_{x}^{2}\colon x\geq 0\right\}{\stackrel {\mathcal {D}}{=}}\left\{(W_{x}+{\sqrt {a}})^{2}\colon x\geq 0\right\}.\,$

Equivalentemente, o processo $(L_{T_{a}}^{x})_{x\geq 0}$ (que é um processo na variável espacial $x$) é igual na distribuição ao quadrado de um processo de Bessel de dimensão 0, e como tal é markoviano.

Generalização dos teoremas de Ray–Knight

Os resultados do tipo Ray-Knight para processos estocásticos mais gerais têm sido intensamente estudados e as declarações (1) e (2) são conhecidos por processos Markov fortemente simétricos.

Veja também

• Fórmula de Tanaka
• Movimento browniano
• Ruído vermelho, também conhecido como ruído marrom (Martin Gardner propôs este nome para som gerado com intervalos aleatórios. É um trocadilho sobre o movimento browniano e ruído branco.)
• Equação de difusão

Bibliografia

• K. L. Chung and R. J. Williams, Introduction to Stochastic Integration, 2nd edition, 1990, Birkhäuser, ISBN 978-0-8176-3386-8.
• P.Mortars and Y.Peres, Brownian Motion, 1st edition, 2010, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-76018-8.