Usuário(a):A7w3j/Testes

Elemento inverso numa operação binária é aquele cujo resultado dá o elemento neutro quando operado com o original.

Pode distinguir-se inverso à esquerda ou inverso à direita se a operação não for comutativa.

Nomenclatura e exemplos

Quando a operação é a multiplicação o elemento inverso de $a$ é ${\frac {1}{a}}$, porque

$a\times {\frac {1}{a}}={\frac {a}{a}}=1$

onde 1 é o elemento neutro da multiplicação (multiplicar por 1 não altera o resultado).

Quando a operação é a adição o elemento inverso de a é -a, porque

$a+(-a)=a-a=0$

onde 0 é o elemento neutro da adição (somar 0 não altera o resultado).

No caso da soma também se designa como elemento simétrico, quando se quer distinguir do elemento inverso, que está mais associado à inversão pela multiplicação.

Por exemplo, relativamente ao número a = 2, o seu simétrico é "-2" e o inverso é "1/2".

No entanto, podemos dizer que "-2" é o elemento inverso de "2" relativamente à soma.

De forma genérica (exceto no caso da soma), usa-se a notação $a^{-1}$ para designar o elemento inverso de $a$.

Definição formal

Podemos enquadrar a definição na noção de grupóide, mas basta entender que se uma operação $*$ tiver um elemento neutro $e$ que verifica

$a*e=a$ (elemento neutro à direita)

$e*a=a$ (elemento neutro à esquerda)

para qualquer elemento $a$ do conjunto do grupóide. Então dizemos que

• $b$ é elemento inverso (à esquerda) de $a$ se verificar

$b*a=e$

• $b$ é elemento inverso (à direita) de $a$ se verificar

$a*b=e$

No caso em que há comutatividade, basta verificar uma das igualdades.

Igualdade dos inversos à esquerda e à direita

Mesmo não havendo comutatividade, convém notar que não há diferença entre esquerda e direita, se existirem os elementos.

O que pode ocorrer é haver inversa à esquerda e não existir à direita (ou vice versa).

Com efeito, se $e$ for elemento neutro à esquerda e $d$ à direita, então temos:

$e*d=e$ (porque $e$ é elemento neutro à esquerda, usando $a=d$)

$e*d=d$ (porque $d$ é elemento neutro à direita, usando $a=e$)

logo são iguais, $e=e*d=d$.

O mesmo acontece com o elemento inverso de qualquer $a$.

Se $l$ for o seu elemento inverso à esquerda e $r$ à direita, então temos por associatividade:

$r=e*r=(l*a)*r=l*(a*r)=l*e=l$

ou seja, existindo, os elementos inversos à esquerda e à direita são iguais num semigrupo.

Outros exemplos

Matrizes

Para a soma, o elemento inverso de uma matriz $A$ é simplesmente $-A$ (que corresponde simplesmente a fazer o simétrico de cada entrada).

Para a multiplicação de matrizes, o elemento inverso é a matriz inversa $A^{-1}$ (que não já corresponde simplesmente a inverter cada uma das suas entradas). Nem todas as matrizes têm inverso, mesmo sem ter nenhuma entrada nula, há uma infinidade de matrizes que não são invertíveis. É condição necessária que a matriz seja quadrada.

Aritmética modular

Em aritmética modular, a soma definida por

$a+b\ (mod\ n)$

tem também 0 como elemento neutro, mas que é equivalente a $n$. Assim, podemos considerar $n-a$ como elemento inverso de $a$:

$a+(n-a)\ (mod\ n)=a-a+n\ (mod\ n)=n\ (mod\ n)=0$.

A multiplicação tem ainda 1 como elemento neutro, mas o cálculo do elemento inverso de $a$ deve ser feito pelo Algoritmo de Euclides, encontrando $b$ e $m$ tais que:

$ab+mn=1$

porque nesse caso, como $mn\ (mod\ n)=0$ obtemos

$1=(ab+mn)\ (mod\ n)=ab\ (mod\ n)$.

Assim o valor do elemento inverso é dado pelo coeficiente $a^{-1}=b$ obtido no Algoritmo de Euclides.

Por exemplo, se $a=23,\ n=120,$ então a relação

$23\times 47+(-9)\times 120=1$

permite obter $b=47,\ m=-9$ e assim $a^{-1}=47\ (mod\ 120)$.

E, trocando os papéis, conclui-se ainda que $47^{-1}=23\ (mod\ 120)$.

O uso do elemento inverso em aritmética modular é um caso de aplicação em algoritmos de criptografia.

Tabela com exemplos

Conjunto	Operação	Elemento neutro	Elemento inverso de a
Números reais	+ (adição)	0 (número zero)	-a
Números reais (sem zero)	• (multiplicação)	1 (número um)	1/a
Matrizes mxn	+ (adição)	Matriz nula	-a
Matrizes invertíveis nxn	x (multiplicação)	Matriz identidade	a-1 (Matriz inversa)
Álgebra booleana	("E" lógico)	(Verdade)	não existe
Álgebra booleana	("OU" lógico)	(Falsidade)	não existe

Ver também

• Elemento neutro
• Monóide
• Semigrupo

• Categoria:Álgebra
• Categoria:Álgebra abstrata
• *Elemento inverso