Variação quadrática

Em matemática, a variação quadrática é usada na análise de processos estocásticos, como o movimento browniano e outros martingales. A variação quadrática é só mais um tipo de variação de um processo.

Definição

Suponha que $X_{t}$ é um processo estocástico de valores reais definido em um espaço de probabilidade $(\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )$ e com um índice de tempo $t$ que varia entre os números reais não-negativos. Sua variação quadrática é o processo, escrito como $[X]_{t}$, definido como

$[X]_{t}=\lim _{\Vert P\Vert \rightarrow 0}\sum _{k=1}^{n}(X_{t_{k}}-X_{t_{k-1}})^{2}$

em que $P$ varia entre as partições do intervalo $[0,t]$ e a norma da partição $P$P é a malha. Este limite, se existe, é definido usando a convergência de variáveis aleatórias. Note que um processo pode ser de variação quadrática finita no sentido da definição dada aqui e seus caminhos podem ser, não obstante, quase certamente de variação quadrática infinita para todo $t>0$ no sentido clássico de tomar o supremo da soma de todas as partições; este é particularmente o caso do movimento browniano.

Mais geralmente, a covariância (ou variância cruzada) de dois processos $X$ e $Y$ é

$[X,Y]_{t}=\lim _{\Vert P\Vert \to 0}\sum _{k=1}^{n}\left(X_{t_{k}}-X_{t_{k-1}}\right)\left(Y_{t_{k}}-Y_{t_{k-1}}\right).$

A covariância pode ser escrita em termos de variação quadrática pela identidade de polarização:

$[X,Y]_{t}={\tfrac {1}{4}}([X+Y]_{t}-[X-Y]_{t}).$

Processos de variação finita

Diz-se que um processo $X$ tem variação finita se tiver variação limitada para cada intervalo de tempo finito (com probabilidade 1). Tais processos são muito comuns e incluem, particularmente, todas as funções continuamente diferenciáveis. A variação quadrática existe para todos os processos de variação contínua e finita e é zero.

Esta afirmação pode ser generalizada a processos não-contínuos. Qualquer processo de variação finita càdlàg $X$ tem variação quadrática igual à soma dos quadrados dos saltos de $X$. Para afirmar isto mais precisamente, o limite à esquerda de $X_{t}$ referente a $t$ é denotado por $X_{t-}$ e o salto de $X$ no tempo $t$ pode ser escrito como $\Delta X_{t}=X_{t}-X_{t-}$. Então, a variação quadrática é dada por

$[X]_{t}=\sum _{0<s\leq t}(\Delta X_{s})^{2}.$

A prova de que processos de variação finita e contínua têm variação quadrática zero segue da seguinte desigualdade. Aqui, $P$ é uma partição do intervalo $[0,t]$ e $V_{t}(X)$ é a variação de $X$ sobre $[0,t]$.

${\begin{aligned}\sum _{k=1}^{n}(X_{t_{k}}-X_{t_{k-1}})^{2}&\leq \max _{k\leq n}|X_{t_{k}}-X_{t_{k-1}}|\sum _{k=1}^{n}|X_{t_{k}}-X_{t_{k-1}}|\\&\leq \max _{|u-v|\leq \Vert P\Vert }|X_{u}-X_{v}|V_{t}(X).\end{aligned}}$

Pela continuidade de $X$, este desaparece no limite conforme $\Vert P\Vert$ vai a zero.

Processos de Itō

A variação quadrática de um movimento browniano padrão $B$ existe e é dada por $[B]_{t}=t$. Isto se generaliza a processos de Itō que, por definição, podem ser expressos em termos de integrais de Itō

$X_{t}=X_{0}+\int _{0}^{t}\sigma _{s}\,dB_{s}+\int _{0}^{t}\mu _{s}\,ds,$

em que $B$ é um movimento browniano. Qualquer processo como tal tem variação quadrática dada por

$[X]_{t}=\int _{0}^{t}\sigma _{s}^{2}\,ds.$

Semimartingales

É possível mostrar que variações e covariâncias quadráticas de todos os semimartingales existem. Eles formam uma parte importante da teoria do cálculo estocástico, aparecendo no lema de Itō, que é a generalização da regra da cadeia da integral de Itō. A covariância quadrática também aparece na fórmula de integração por partes.

$X_{t}Y_{t}=X_{0}Y_{0}+\int _{0}^{t}X_{s-}\,dY_{s}+\int _{0}^{t}Y_{s-}\,dX_{s}+[X,Y]_{t},$

que pode ser usada para computar $[X,Y]$.

De outra forma, isto pode ser escrito como uma equação diferencial estocástica:

$\,d(X_{t}Y_{t})=X_{t-}\,dY_{t}+Y_{t-}\,dX_{t}+\,dX_{t}\,dY_{t},$

em que$\,dX_{t}\,dY_{t}=\,d[X,Y]_{t}.$

Martingales

Todos os martingales càdlàg e martingales locais têm variação quadrática bem definida, que segue do fato de que tais processos são exemplos de semimartingales. Pode ser mostrado que a variação quadrática $[M]$ de um martingale localmente quadrado integrável é o único processo contínuo à direita e crescente a partir de zero, com saltos $\Delta [M]=\Delta M^{2}$, tal que $M^{2}-[M]$ é um martingale local. Uma prova da existência de $[M]$ (sem uso de cálculo estocástico) é dada em Karandikar-Rao.

Um resultado útil para martingales quadrado integráveis é a isometria de Itō, que pode ser usada para calcular a variância de integrais de Itō,

$\mathbb {E} \left(\left(\int _{0}^{t}H\,dM\right)^{2}\right)=\mathbb {E} \left(\int _{0}^{t}H^{2}\,d[M]\right).$

Este resultado se mantém sempre que $M$ for um martingale quadrado integrável càdlàg e $H$ for um processo previsível limitado, sendo frequentemente usado na construção da integral de Itō.

Outro importante resultado é a desigualdade de Burkholder-Davis-Gundy, que dá limites ao máximo de um martingale nos termos da variação quadrática. Para um martingale local $M$ começando em zero, com máximo denotado por ${\textstyle M_{t}^{*}\equiv \sup _{s\leq t}|M_{s}|}$ e qualquer número real $p\geq 1$, a desigualdade é

$c_{p}\mathbb {E} ([M]_{t}^{p/2})\leq \mathbb {E} ((M_{t}^{*})^{p})\leq C_{p}\mathbb {E} ([M]_{t}^{p/2}).$

Aqui, $c_{p}<C_{p}$ são constantes que dependem da escolha de $p$, mas não do martingale $M$ ou do tempo $t$ usado. Se $M$ for um martingale local contínuo, então a desigualdade de Burkholder-Davis-Gundy se mantém para qualquer $p>0$.

Um processo alternativo, a variação quadrática previsível, é usado às vezes para martingales localmente quadrado integráveis. É escrita como ${\langle M\rangle }_{t}$ e definida como sendo o único processo previsível contínuo à direita e crescente a partir de zero, tal que $M^{2}-\langle M\rangle$ é um martingale local. Sua existência segue do teorema da decomposição de Doob-Meyer e, para martingales locais contínuos, é igual à variação quadrática.

Ver também

• Variação total