Fator de automorfia

Em matemática, a noção de fator de automorfia surge de uma acção de grupo sobre uma variedade analítica complexa. Supondo-se um grupo $G$ atuando sobre uma variedade analítica complexa $X$. Então, $G$ também atua sobre o espaço de funções holomórficas de $X$ para os números complexos. Uma função $f$ é denominada uma forma automórfica se a seguinte condição:

$\,f(g.x)=j_{g}(x)f(x)$

onde $j_{g}(x)$ é em qualquer posição função holomórfica não nula. Equivalentemente, uma forma automórfica é uma função onde o divisor é invariante sob a ação de $G$.

O fator de automorfia para a forma automórfica $f$ é a função $j$. Uma função automórfica é uma forma automórfica para a qual $j$ é a identidade.

Algumas notas sobre fatores de automorfia:

• Qualquer fator de automorfia é um cociclo para a ação de $G$ sobre o multiplicativo grupo de qualquer posição de funções holomórficas não nulas.
• O fator de automorfia é um complexo de cadeias se e somente se origina-se de uma forma automórfica não nula em qualquer posição.
• Para um dado fator de automorfia, o espaço da forma automórfica é um espaço vetorial.
• O produto de duas formas automórficas é uma forma automórfica que corresponde ao produto dos fatores de automorfia correspondentes.

Relação entre fatores de automorfia e outras noções:

• Sendo $\Gamma$ um reticulado em um grupo de Lie $G$. Então, um fator de automorfia para $\Gamma$ corresponde ao fibrado de linhas sobre o grupo quociente $G/\Gamma$. Além disso, as formas automórficas para um dado fator de automorfia correspondem a seções do correspondente feixe de linhas.

O caso específico de $\Gamma$, um subgrupo de SL(2,R), atuando sobre o meio plano superior, é tratado no artigo sobre fatores automórficos.

Referências

• A.N. Andrianov,A.N. Parshin (2001), Automorphic function em Hazewinkel, Michiel, Encyclopaedia of Mathematics, Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1556080104 (O comentário ao final define fatores automórficos em uma moderna linguagem geométrica)
• A.N. Parshin (2001), Automorphic form em Hazewinkel, Michiel, Encyclopaedia of Mathematics, Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1556080104

Ligações externas

• R. C. Gunning; GENERAL FACTORS OF AUTOMORPHY; Proc Natl Acad Sci U S A. 1955 July 15; 41(7): 496–498. (em inglês)
• R. C. Gunning; THE STRUCTURE OF FACTORS OF AUTOMORPHY; American Journal of Mathematics, Vol. 78, No. 2 (Apr., 1956), pp. 357–382. (em inglês)