Números de Euler

 Nota: Não confundir com Número de Euler.

Em matemática, os números de Euler são uma sequência E _n de inteiros (sequência A122045 na OEIS) definida pela expansão da série de Taylor

${\frac {1}{\cosh t}}={\frac {2}{e^{t}+e^{-t}}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {E_{n}}{n!}}\cdot t^{n}$ ,

onde $\cosh(t)$ é a função cosseno hiperbólico . Os números de Euler estão relacionados a um valor especial dos polinômios de Euler, a saber:

$E_{n}=2^{n}E_{n}({\tfrac {1}{2}}).$

Os números de Euler aparecem nas expansões da série de Taylor das funções secante e secante hiperbólica. Esta última é a função na definição. Elas também ocorrem em combinatória, especificamente ao contar o número de permutações alternadas de um conjunto com um número par de elementos.

Exemplos

Os números de Euler de índices ímpares são todos zero. Os pares (sequência A028296 na OEIS) têm sinais alternados. Alguns valores são:

E0	=	1
E2	=	−1
E4	=	5
E6	=	−61
E8	=	7003138500000000000♠1385
E10	=	2995494790000000000♠−50521
E12	=	7006270276500000000♠2702765
E14	=	2991800639019000000♠−199360981
E16	=	7010193915121450000♠19391512145
E18	=	2987759512032455900♠−2404879675441

Alguns autores reindexam a sequência para omitir os números de Euler ímpares com valor zero, ou alteram todos os sinais para positivos (sequência A000364 na OEIS). Este artigo adere à convenção adotada acima.

Fórmulas explícitas

Em termos de números de Stirling do segundo tipo

As duas fórmulas a seguir expressam os números de Euler em termos de números de Stirling do segundo tipo

$E_{n}=2^{2n-1}\sum _{\ell =1}^{n}{\frac {(-1)^{\ell }S(n,\ell )}{\ell +1}}\left(3\left({\frac {1}{4}}\right)^{(\ell )}-\left({\frac {3}{4}}\right)^{(\ell )}\right),$

$E_{2n}=-4^{2n}\sum _{\ell =1}^{2n}(-1)^{\ell }\cdot {\frac {S(2n,\ell )}{\ell +1}}\cdot \left({\frac {3}{4}}\right)^{(\ell )},$

onde $S(n,\ell )$ dentota os números de Stirling do segundo tipo, e $x^{(\ell )}=(x)(x+1)\cdots (x+\ell -1)$ denota o fatorial descendente.

Como uma soma dupla

As duas fórmulas a seguir expressam os números de Euler como somas duplas

$E_{2n}=(2n+1)\sum _{\ell =1}^{2n}(-1)^{\ell }{\frac {1}{2^{\ell }(\ell +1)}}{\binom {2n}{\ell }}\sum _{q=0}^{\ell }{\binom {\ell }{q}}(2q-\ell )^{2n},$

$E_{2n}=\sum _{k=1}^{2n}(-1)^{k}{\frac {1}{2^{k}}}\sum _{\ell =0}^{2k}(-1)^{\ell }{\binom {2k}{\ell }}(k-\ell )^{2n}.$

Como uma soma iterada

Uma fórmula explícita para os números de Euler é:

$E_{2n}=i\sum _{k=1}^{2n+1}\sum _{\ell =0}^{k}{\binom {k}{\ell }}{\frac {(-1)^{\ell }(k-2\ell )^{2n+1}}{2^{k}i^{k}k}},$

onde i denota a unidade imaginária com i² = −1 .

Como uma soma sobre partições

O número de Euler E_2n pode ser expresso como uma soma sobre as partições pares de 2n,

$E_{2n}=(2n)!\sum _{0\leq k_{1},\ldots ,k_{n}\leq n}{\binom {K}{k_{1},\ldots ,k_{n}}}\delta _{n,\sum mk_{m}}\left(-{\frac {1}{2!}}\right)^{k_{1}}\left(-{\frac {1}{4!}}\right)^{k_{2}}\cdots \left(-{\frac {1}{(2n)!}}\right)^{k_{n}},$

bem como uma soma sobre as partições ímpares de 2n − 1,

$E_{2n}=(-1)^{n-1}(2n-1)!\sum _{0\leq k_{1},\ldots ,k_{n}\leq 2n-1}{\binom {K}{k_{1},\ldots ,k_{n}}}\delta _{2n-1,\sum (2m-1)k_{m}}\left(-{\frac {1}{1!}}\right)^{k_{1}}\left({\frac {1}{3!}}\right)^{k_{2}}\cdots \left({\frac {(-1)^{n}}{(2n-1)!}}\right)^{k_{n}},$

onde em ambos os casos K = k₁ + ··· + k_n e

${\binom {K}{k_{1},\ldots ,k_{n}}}\equiv {\frac {K!}{k_{1}!\cdots k_{n}!}}$

é um coeficiente multinomial . Os deltas de Kronecker nas fórmulas acima restringem as somas sobre os ks a 2k₁ + 4k₂ + ··· + 2nk_n = 2n e a k₁ + 3k₂ + ··· + (2n − 1)k_n = 2n − 1, respectivamente.

Como no exemplo:

${\begin{aligned}E_{10}&=10!\left(-{\frac {1}{10!}}+{\frac {2}{2!\,8!}}+{\frac {2}{4!\,6!}}-{\frac {3}{2!^{2}\,6!}}-{\frac {3}{2!\,4!^{2}}}+{\frac {4}{2!^{3}\,4!}}-{\frac {1}{2!^{5}}}\right)\\[6pt]&=9!\left(-{\frac {1}{9!}}+{\frac {3}{1!^{2}\,7!}}+{\frac {6}{1!\,3!\,5!}}+{\frac {1}{3!^{3}}}-{\frac {5}{1!^{4}\,5!}}-{\frac {10}{1!^{3}\,3!^{2}}}+{\frac {7}{1!^{6}\,3!}}-{\frac {1}{1!^{9}}}\right)\\[6pt]&=-50\,521.\end{aligned}}$

Como um determinante

E_2n é dado pelo Determinante

${\begin{aligned}E_{2n}&=(-1)^{n}(2n)!~{\begin{vmatrix}{\frac {1}{2!}}&1&~&~&~\\{\frac {1}{4!}}&{\frac {1}{2!}}&1&~&~\\\vdots &~&\ddots ~~&\ddots ~~&~\\{\frac {1}{(2n-2)!}}&{\frac {1}{(2n-4)!}}&~&{\frac {1}{2!}}&1\\{\frac {1}{(2n)!}}&{\frac {1}{(2n-2)!}}&\cdots &{\frac {1}{4!}}&{\frac {1}{2!}}\end{vmatrix}}.\end{aligned}}$

Como uma integral

E_2n também é dado pelas integrais:

${\begin{aligned}(-1)^{n}E_{2n}&=\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{2n}}{\cosh {\frac {\pi t}{2}}}}\;dt=\left({\frac {2}{\pi }}\right)^{2n+1}\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{2n}}{\cosh x}}\;dx\\[8pt]&=\left({\frac {2}{\pi }}\right)^{2n}\int _{0}^{1}\log ^{2n}\left(\operatorname {tg} {\frac {\pi t}{4}}\right)\,dt=\left({\frac {2}{\pi }}\right)^{2n+1}\int _{0}^{\pi /2}\log ^{2n}\left(\operatorname {tg} {\frac {x}{2}}\right)\,dx\\[8pt]&={\frac {2^{2n+3}}{\pi ^{2n+2}}}\int _{0}^{\pi /2}x\log ^{2n}(\operatorname {tg} x)\,dx=\left({\frac {2}{\pi }}\right)^{2n+2}\int _{0}^{\pi }{\frac {x}{2}}\log ^{2n}\left(\operatorname {tg} {\frac {x}{2}}\right)\,dx.\end{aligned}}$

Congruências

W. Zhang obteve as seguintes identidades combinatórias relativas aos números de Euler. Para qualquer primo $p$, nós temos

$(-1)^{\frac {p-1}{2}}E_{p-1}\equiv \textstyle {\begin{cases}0\mod p&{\text{, se }}p\equiv 1{\bmod {4}};\\-2\mod p&{\text{, se }}p\equiv 3{\bmod {4}}.\end{cases}}$

onde $a{\bmod {b}}$ denota o resto da divisão inteira de a por b.

W. Zhang e Z. Xu provaram que, para qualquer primo $p\equiv 1{\pmod {4}}$ e inteiro $\alpha \geq 1$, nós temos

$E_{\phi (p^{\alpha })/2}\not \equiv 0{\pmod {p^{\alpha }}}$

onde $\phi (n)$ é a função totiente de Euler .

Aproximação assintótica

Os números de Euler crescem muito rapidamente para índices grandes, pois têm o seguinte limite inferior

$|E_{2n}|>8{\sqrt {\frac {n}{\pi }}}\left({\frac {4n}{\pi e}}\right)^{2n}.$

Números em ziguezague de Euler

A série de Taylor de $\sec x+\operatorname {tg} x=\operatorname {tg} \left({\frac {\pi }{4}}+{\frac {x}{2}}\right)$ é

$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {A_{n}}{n!}}x^{n},$

onde A_n são os números em ziguezague de Euler, começando com

1, 1, 1, 2, 5, 16, 61, 272, 1385, 7936, 50521, 353792, 2702765, 22368256, 199360981, 1903757312, 19391512145, 209865342976, 2404879675441, 29088885112832, ... (sequência A000111 na OEIS)

Para todos os n pares,

$A_{n}=(-1)^{\frac {n}{2}}E_{n},$

onde E_n é o número de Euler; e para todo n ímpar,

$A_{n}=(-1)^{\frac {n-1}{2}}{\frac {2^{n+1}\left(2^{n+1}-1\right)B_{n+1}}{n+1}},$

onde B_n é o número de Bernoulli .

${\frac {A_{n-1}}{(n-1)!}}\operatorname {sen} {\left({\frac {n\pi }{2}}\right)}+\sum _{m=0}^{n-1}{\frac {A_{m}}{m!(n-m-1)!}}\operatorname {sen} {\left({\frac {m\pi }{2}}\right)}={\frac {1}{(n-1)!}}.$ ^{[carece de fontes]}

Ver também

• Número de Bernoulli
• Constante de Euler-Mascheroni

Ligações externas

• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), «Euler numbers», Enciclopédia de Matemática, ISBN 978-1-55608-010-4 (em inglês), Springer 
• Weisstein, Eric W. «Euler number». MathWorld (em inglês)